Widita Kurniasari, SE, ME HITUNG DIFERENSIAL Widita Kurniasari, SE, ME

PENGERTIAN LIMIT Konsep dasar diferensial Adalah harga batas tertentu, L, yang dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a. Kegunaan Limit : Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu Menentukan kontinuitas/diskontinuitas suatu fungsi Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan fungsi

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU Contoh :

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU Contoh :

KONTINUITAS FUNGSI Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu untuk x = a dari suatu interval tertentu jika memenuhi 3 syarat: Y = f(a) terdefinisi mempunyai harga tertentu, misal = L L = f(a) Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, fungsi f(x) untuk x = a, tidak kontinyu atau disebut diskontinyu

Contoh Y = f(x) = 4x + 1 tidak kontinyu untuk x = 2 hanya ada kalau x ≥ 3 2x – 1 untuk x < 2 Y = 5 – x untuk 2 ≤ x < 4 x²- 10 untuk x ≥ 4 karena pada saat x = 4 harga y = 4²-10 = 6 dan , sehingga grafik fungsi kedua dan ketiga tidak bersambungan (tidak kontinyu) X – 2

PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X Jika perubahan X (X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka : Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =

TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT Y = c  Y’ = 0 Y = aX + b  Y’ = a Y = Xn  Y’ = n Xn-1 Y = Un  Y’ = n Un-1 . U’ Y = U ± V  Y’ = U’ ± V’ Y = U/V  Y’ = (U’V – V’U)/V2 Y = ex  Y’ = ex Y = eu  Y’ = u’.eu Y = ln X  Y’ = 1/X Y = ln U  Y’ = U’/U Y = ax  Y’ = ax ln a

Latihan Soal 1. Y = 4x3+3x2–5x+7x-10 2. Y = ln(6x2+x)-e3x-2 4. Y = 3x2e-2x 5. Y = ln((4x+5)/(2x-1)) 6. Y = (3x–7)6 7. Y = 2t2-4t dan X = 3t+1

APLIKASI TURUNAN PERTAMA Menentukan gradien/slope garis singgung Y – Y1 = m (X – X1)  m = Y’ Menentukan koordinat titik stasioner Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien = 0  f’(x) = 0 Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.

Contoh Y = x³-3x²+6x+2 Y’ = 3x²-6x+6 tidak mempunyai titik stationer sebab tidak memiliki akar-akar nyata (D < 0) Y = x³-3x²-9x+10 stationer pada y’ = 0 Y’ = 3x²-6x-9 = 0 atau 3(x²-2x-3) = 3(x-3)(x+1) = 0 X1 = 3 dan x2 = -1 yakni absis titik-titik stationer Untuk x1 = 3 y1= (3)³-3(3)²-9(3)+10 = -17 Untuk x2 = -1 y2= (-1)³-3(-1)²-9(-1)+10 = 15 Jadi titik stationer fungsi y = x³-3x²-9x+10 adalah titik : A (3,-17) dan B (-1,15)

APLIKASI TURUNAN PERTAMA Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun Monoton naik : X > 0  Y > 0 Monoton turun : X > 0  Y < 0 Contoh: Y = x²- 4x Y’ = 2x – 4 Untuk menentukan di bagian mana kurva Y = x²-4x monoton naik maka harus ditentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Y’ > 0 atau 2x-4 > 0 sehingga himpunan penyelesaiannya adalah A = {x/x > 2}. Jadi untuk interval x > 2 fungsi tersebut akan monoton naik.

APLIKASI TURUNAN KEDUA Menentukan bentuk kurva Cekung ke atas (concave upward) : Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0 Cekung ke bawah (concave downward) : Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0

APLIKASI TURUNAN KEDUA Menentukan titik belok dan titik sadel Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan cekung ke bwh atau sebaliknya Syarat : Y” = f”(x) = 0 Titik Belok : untuk X = 0  Y’ ≠ 0, Y” = 0 Titik Sadel : untuk X = 0  Y’ = 0, Y” = 0

CONTOH SOAL Diketahui fungsi Y = X3 – 3X2 – 9X + 22, tentukan : Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 Koordinat titik esktrim (maks/min) Koordinat titik belok/titik sadel

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Analisis marginal Laju pertumbuhan Menghitung Marginal Revenue (MR) dan Marginal Cost (MC) MR = TR’ MC = TC’

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Harga Ekstrim Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0 Laba maksimum (rugi minimum),   = TR – TC ’ = 0  MR = MC Output optimum Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum AC minimum  AC’ = 0  AC = MC

APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI Elastisitas Mengukur perubahan suatu variabel akibat perubahan variabel lain Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed), penawaran (Es), dll Perhitungan elastisitas : Elastisitas Titik (Point Elasticity) Elastisitas Busur (Arc Elasticity)

CONTOH SOAL Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan TC = Q2 + 790Q + 1.800 Hitung TR, MR, AR, TC, MC, dan AC ketika Q = 10 Hitung TR maksimum Hitung laba maksimum/rugi minimum Hitung output optimum Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100