KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1. VEKTOR Dosen SYISKA YANA, ST., MT. Departemen Teknik Elektro, Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara Medan, Indonesia Semester Genap TA 2012/2013 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

Silabus Vektor Matrik Bilangan komplek Persamaan diferensial orde 1 Transformasi laplace Deret fourier Transformasi fourier Syiska Yana, DTE FT USU 2013

Referensi Anthony Croft , “Engineering Mathematics, a foundation for electronic, electrical, communications and systems engineers, 3rd edition”,Prentice Hall, 2001 Jhon Bird, "Higher Engineering Mathematic fifth edition",Elsevier Ltd., 2006 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

Evaluasi Tugas 20% (pokok bahasan 1-8) Quiz 10% (2 kali) UTS 35% (1-3) Penilaian PAP Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1. VEKTOR 1.1 Pengantar Vektor 1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar 1.3 Komponen Cartesian 1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor 1.5 Produk Skalar 1.6 Produk Vektor 1.7 Vektor n Dimensi Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.1 Pengantar Vektor Kuantitas fisik sesuatu biasanya dinyatakan dalam bentuk angka atau besar, contoh : massa sebuah batu, kecepatan sebuah kendaraan dll. Akan tetapi kuantitas fisik sesuatu tidak hanya memiliki besaran atau angka tapi juga memiliki arah, contoh : kecepatan angin 30 m/s arah utara. Kuantitas fisik yang dinyatakan dalam angka atau bilangan tunggal disebut dengan skalar. Sedangkan kuantitas fisik yang dinyatakan dalam angka dan memiliki arah disebut dengan vektor. Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Vektor : kuantitas fisik yang memiliki besar dan arah Skalar : kuantitas fisik yang hanya memiliki besar Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Simbol vektor ditandai dengan a atau Vektor ≠ dari A ke B sedangkan dari B ke A Simbol a = simbol vektor Simbol |a|= simbol skalar Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar 1.2.1 Vektor Negatif Vektor –a adalah vektor a dengan arah yang berlawanan, tapi memiliki besar yang sama dengan vektor a = -a 1.2.2 Dua vektor yang sama Dua vektor dikatakan sama jika memiliki besar dan arah yang sama. Perhatikan gambar 1 (b), vektor dan adalah sama walaupun berbeda posisi Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar 1.2.3 Penjumlahan Vektor Dalam penjumlahan dua vektor berlaku hukum segitiga Perhatikan Gambar 2, ditambah , dimana ujung diposisikan pada ujung titik B sesuai arah panah, translasi tidak mengubah arah dan besar . Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Dari Gambar 2 diperoleh : Contoh 1 : Sebuah kendaraan otomatis di suatu perusahaan berfungsi memindahkan komponen-komponen peralatan listrik dari tempat A ke pekerja di tempat C, ilustrasi pada Gambar 3. Kendaraan ini bisa langsung menuju C, tapi bisa juga menuju C melalui titik B (displacement vektor/ pemindahan vektor), dengan panjang dari A sampai B, Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Perpindahan dari B ke C dinyatakan dengan Ujung dari menyentuh ujung , berlaku hukum segitiga dan diperoleh : Dan adalah resultant dari dan Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Contoh 2 : Penjumlahan dua gaya Gaya F1 sebesar 2 N bergerak vertikal ke bawah dan F2 sebesar 3 N bergerak horizontal ke kanan (Gambar 4) Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Resultan F1 dan F2 diperoleh dengan translasi F1 pada ujung F2 sehingga diperoleh : R = vektor jumlah dari F2 dan F1 dengan sudut sebesar : Besar vektor R adalah : Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar 1.2.4 Pengurangan Vektor Pengurangan vektor berarti penjumlahan vektor dengan vektor negatif misalnya a-b diperoleh dari a + (-b). Contoh : Perhatikan Gambar 5 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar 1.2.5 Perkalian vektor dengan skalar Diketahui k dan l adalah skalar positif a= vektor a, b = vektor b ka= vektor a dengan panjang ka dan arah yang sama lb = vektor b dengan panjang lb dan arah yang sama Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Untuk sembarang nilai k dan l, vektor a dan b,maka : 1.2.6 Unit Vektor Vektor yang memiliki panjang 1 satuan disebut unit vektor Jika a memiliki panjang 3 maka unit vektor pada arah a adalah (1/3)a. Unit vektor = â Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Panjang a = |a|, sehinga unit vektor adalah : Exercises 7.2 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.3 Komponen Cartesian Perhatikan Gambar 7. Titik P dengan koordinat (x,y), garis OP merupakan vektor r Panjang OP adalah |r| Jika x=I dan y=j maka : Vektor I dan j adalah vektor orthogonal (tegak lurus θ=900 ) Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.3 Komponen Cartesian Menggunakan teorema phytagoras dapat dihitung panjang r : Dapat juga ditulis dalam bentuk : Contoh : Dua titik A dan B memiliki koordinat (5,4) dan (-3,2). Tentukan posisi vektor A dan B, vektor AB dan |AB| Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.3 Komponen Cartesian Penyelesaian : Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.3 Komponen Cartesian Vektor nol : semua komponen vektor bernilai 0, skalar=0 dan panjang =0. Kombinasi linier, dependence dan independence Dua vektor a dan b, dikali dengan skalar k1 dan k2 (k1a dan k2b) menghasilkan vektor baru yaitu vektor c = k1a+k2b. vektor c : kombinasi linier dari a dan b vektor c linier dengan a dan b, dapat dibuat persamaan : Sehingga b linier dengan c dan a Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.3 Komponen Cartesian Vektor a, b dan c dikatakan linier dependent (terhubung linier) Salah satu dari vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari 2 vektor lainnya Sekumpulan n vektor (a1,a2,…..,an) linier dependent jika : Konstanta k1, k2,..,kn tidak bernilai nol Jika kis=0, maka kumpulan vektor dikatakan linier independen s=kumpulan vektor Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.3 Komponen Cartesian Contoh : Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor Contoh medan skalar : Suhu ruangan Suhu disebuah ruangan yang diukur pada sembarang titik P sebesar Φ. Tinggi suhu dalam ruangan tergantung pada posisi titik mengukur suhu. Jika diukur disekitar radiator maka suhu yang terukur akan lebih tinggi dari pada suhu yang diukur di sekitar jendela. Sehingga dapat dinyatakan bahwa Φ merupakan fungsi posisi Φ(x,y,z). Φ dapat juga sebagai fungsi waktu. Temperatur / suhu adalah skalar, sehingga dapat dibuat skala pada titik P (x,y,z) dalam ruangan. Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor Contoh medan vektor : Fluida Fluida pada sebuah titik akan berpindah dengan kecepatan dan arah tertentu. Elemen dari fluida adalah kecepatan v (merupakan sebuah vektor), sehingga diperoleh sebuah fungsi vektor (medan vektor) : vx,vy dan vz merupakan fungsi skalar x,y dan z Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.5 Produk Skalar (perkalian skalar) Perkalian skalar dari vektor a dan b : Exercises 7.5 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) Hasil perkalian vektor a dan b adalah : Aturan perkalian vektor : Contoh : a. Jika : Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) b. Jika : Penyelesaian : a. Syarat : Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) b. Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) Penyelesaian menggunakan determinan Vektor a dan b dituliskan dalam bentuk matrik : Untuk memperoleh komponen i maka : Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) komponen j : komponen k : Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) Contoh : Tentukan perkalian vektor dari : Penyelesaian : Exercises 7.6 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.7 Vektor n Dimensi Vektor yang sering dibahas adalah vektor 2 dimensi dan 3 dimensi. Vektor n dimensi yaitu vektor >3 dimensi. Contoh : vektor 4 dimensi Contoh : vektor arus mesh Syiska Yana, DTE FT USU 2013