D0104 Riset Operasi I Kuliah V - VII Programa Linier D0104 Riset Operasi I Kuliah V - VII

Apakah Programa Linier ? Definisi : Suatu model matematik yang berhubungan dengan alokasi yang efisien dari sumber yang terbatas untuk mencapai tujuan yang diinginkan (memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya) Karaktaristik dari Programa Linier : Fungsi Obyektif dan Pembatas adalah fungsi linier

Model Programa Linier Maksimasi atau Minimasi : x0 = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn Fungsi Pembatas a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ( , =, atau  ) b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ( , =, atau  ) b2 . . . am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ( , =, atau  ) bm x1, x2,…., xn  0

Bentuk Kanonik Programa Linier Maksimasi Semua variabel keputusan adalah non-negatif (xj) Semua pembatas mempunyai tipe  Fungsi obyektifnya adalah tipe maksimasi

Tranformasi Permasalahan Programa Linier (1) Lima cara mentranformasi permasalahan programa linier Fungsi Minimasi, sama dengan maksimasi dari Minimasi x0 = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn Sama dengan Maksimasi g0 = -x0 = - c1x1 - c2x2 - . . . - cnxn

Tranformasi Permasalahan Programa Linier (2) Ketidaksamaan pada satu arah (, atau ) dapat diubah menjadi ketidaksamaan pada arah berlawanan (, atau ) Contoh : a1x1 + a2x2  b ekuivalen dengan - a1x1 - a2x2  -b Atau a1x1 + a2x2  b - a1x1 - a2x2  -b

Tranformasi Permasalahan Programa Linier (3) Bila fungsi pembatas dalam bentuk persamaan dapat diubah menjadi dua bentuk ketidaksamaan. Contoh : a1x1 + a2x2 = b menjadi a1x1 + a2x2  b dan a1x1 + a2x2  b Atau a1x1 + a2x2  b dan - a1x1 - a2x2  -b

Tranformasi Permasalahan Programa Linier (4) Batasan dalam bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri bernilai absolut dapat diubah menjadi dua ketidaksamaan. Contoh : | a1x1 + a2x2 |  b untuk b  0 menjadi : a1x1 + a2x2  -b dan a1x1 + a2x2  b | a1x1 + a2x2 |  b untuk b  0 menjadi : a1x1 + a2x2  b dan a1x1 + a2x2  -b

Transformasi Ketidaksamaan  Persamaan Untuk penyelesaian masalah programa linier, pembatas yang berbentuk ketidaksamaan harus dirubah menjadi persamaan. Bila bentuk ketidaksamaannya adalah  , untuk menjadi persamaan harus dikurangi sebesar S, biasanya disebut susrplus variabel. Bila bentuk ketidaksamaannya adalah  , untuk menjadi persamaan harus ditambah sebesar S, biasanya disebut slack variabel.

Contoh : Maksimasi : x0 = x1 - 3x2 Fungsi Pembatas menjadi - x1 + 2x2 + S1 = 5 x1 + 3x2 - S2 = 10 Fungsi Pembatas : - x1 + 2x2  5 x1 + 3x2  10 x1, x2  0 Bila Fungsi Pembatas menjadi - x1 + 2x2 + S1 = 5 x1 + 3x2 - S2 = 10 5x1 + 2x2 - S3 = 25 5x1 + 2x2 + S4 = -25 Fungsi Pembatas : - x1 + 2x2  5 x1 + 3x2  10 | 5x1 + 2x2 |  25 x1, x2  0

Metoda Penyelesain Programa Linier Dua metoda digunakan untuk penyelesaian programa linier, yaitu : Metoda Grafik. (Khusus untuk 2 variabel) Metoda penyelesaian permasalahan programa linier dengan jumlah variabel tidak lebih dari dua dengan menggambarkan secara grafis. Metoda Simplex. Metoda penyelesaian programa linier secara aljabar dengan menggunakan bentuk persamaan standard. Jumlah variabelnya tidak dibatasi.

Metoda Grafis 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 Maks Z = 3x1 + 5x2 2 4 6 8 10 12 14 2x2  12 3x1 + 2x2  18 x1  4 x1  0 x2  0 3x1 + 5x2  50 Maks Z = 3x1 + 5x2 Pembatas : x1  4 2x2  12 dan x1  0 x2  0

Terminologi Solusi Secara Grafis Feasible Solution : Suatu solusi yang memenuhi semua fungsi yang ada pada batasan dari permasalahan. Infeasible solution : Suatu solusi yang mempunyai paling sedikit satu fungsi tidak memenuhi batasan permasalahan. Feasible region : Kumpulan dari semua ‘feasible solution’. Ada kemungkinan permasalahan yang tidak mempunyai satupun ‘feasible solution’.

Terminologi Solusi Secara Grafis (Lanjutan) Optimal Solution : Suatu ‘feasible solution’ yang mempunyai nilai yang paling baik untuk fungsi tujuan. Nilai Yang Paling Baik (Most Favourable Value) : Nilai terbesar bila fungsi obyektifnya Maksimum atau terkecil bila fungsi obyektifnya terkecil. Multiple Optimal Solution : Suatu solusi dengan nilai optimal yang sama untuk kombinasi nilai variabel dari fungsi obyektif yang berbeda-beda.

Contoh : Penyelesaian Grafik dengan berbagai kondisi 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 2x2  12 3x1 + 2x2  18 x1  4 x1  0 x2  0 3x1 + 5x2 Fungsi Obyektif Maks Z = 3x1 + 5x2 Pembatas : x1  4 2x2  12 dan x1  0 x2  0 (2,6) (4,3) (0,6) (4,0) Nilai Maks = 36 Utk. x1 = 2 x2 = 6 Mempunyai satu titik (2,6) yg optimal. Feasible Region

Contoh : Penyelesaian Grafik dengan berbagai kondisi 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 2x2  12 3x1 + 2x2  18 x1  4 x1  0 x2  0 3x1 + 2x2 Fungsi Obyektif Maks Z = 3x1 + 2x2 Pembatas : x1  4 2x2  12 dan x1  0 x2  0 (2,6) (4,3) (0,6) (4,0) Dalam permasalahan ini terdapat ‘Multiple Solution’ [ lihat fungsi obyektifnya berimpit dengan garis (2,6) dan (4,3) ] Feasible Region

Contoh : Penyelesaian Grafik dengan berbagai kondisi 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 x1  4 3x1 + 5x2 Fungsi Obyektif Maks Z = 3x1 + 5x2 Pembatas : x1  4 dan x1  0 x2  0 (4,6) (4,4) (4,2) Dalam permasalahan tidak terdapat ‘Optimal Solution’ (4,8) (4,10) Feasible Region