ALJABAR LINEAR Ruang Membangun (Merentang) Disusun Oleh : Hepry Yurika (14144100076) Sarah Ayu R (15144100068) Ganesh Diar (15144100081)

Ruang Membangun (Merentang) Jika S = { v1,v2, …,vn } adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka sub ruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor vektor dalam S disebut ruang Membangun oleh v1,v2, ….,vn, dan kita katakan bahwa vektor vektor v1,v2, ….,vn adalah membangun W.

Contoh : Tentukan apakah himpunan S = { i,j,k } membangun vektor x=(9,2,3 )? Jawab : Untuk menyelediki apakah himpunan S, yang terdiri dari vektor satuan, membangun vektor x atau tidak, dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor x merupakan kombinasi linear dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang memenuhi persamaan : x = k1i + k2j + k3 k (9,2,3) = k1(1,0,0 ) + k2(0,1,0) +k3 (0,0,1) Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, kita akan mendapatkan : k1 = 9 k2 = 2 k3 = 3 Sehingga dapat disimpulkan bahwa x adalah kombinasi linear dari himpunan vektor S, atau S membangun terhadap vektor x

Contoh 2 : Tentukan apakah himpunan S = { i,j,k } membangun di setiap vektor di R3 ? Jawab : Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu u = (u1,u2,u3) Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal ini dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor u merupakan kombinasi linear dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang memenuhi persamaan : u= k1i + k2j + k3 k (u1,u2,u3)= k1(1,0,0 ) + k2(0,1,0) +k3 (0,0,1) Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, kita akan mendapatkan : k1 = u1 k2 = u2 k3 = u3 Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap vektor di R3 adalah kombinasi linear dari himpunan vektor S, atau S membangun di setiap vektor di R3.

Contoh 3 : Tentukan apakah himpunan S = { u,v,w } di mana u = (1,1,2), v=(1,0,1) dan w =(3,1,3) membangun di setiap vektor di R3. Jawab : Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu x = (x1,x2,x3). Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal ini dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor x merupakan kombinasi linear dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang memenuhi persamaan : x= k1u + k2v + k3 w (x1,x2,x3)= k1(1,1,2 ) + k2(1,0,1) +k3 (3,1,3) Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan didapatkan : k1+k2+3k3 = x1 k1+k3 = x2 2k1+k2+3k3 = x3

Contoh 4 : Tentukan apakah himpunan S = { u,v,w } di mana u = (1,1,2), v=(1,0,1) dan w =(2,1,3) membangun di setiap vektor di R3 ? Jawab : Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu x = (x1,x2,x3). Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal ini dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor x merupakan kombinasi. linear dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang memenuhi persamaan : x= k1u + k2v + k3 w (x1,x2,x3)= k1(1,1,2 ) + k2(1,0,1) +k3 (2,1,3) Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan didapatkan : k1+k2+2k3 = x1 k1+k3 = x2 2k1+k2+3k3 = x3

SEKIAN DAN TERIMA KASIH