PANGKAT, AKAR LOGARITMA MATERI KE-3 MATEMATIKA EKONOMI I

PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan Contoh: perkalian bilangan 7 sebanyak 5 kali maka dapat ditulis sbb: 75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 Fungsi pemangkatan adalah untuk meringkas penulisan bentuk perkalian termasuk perkalian sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil. Misal: bilangan 100.000.000 ditulis 108 bilangan 0,000.000.001 ditulis 10-9

KAIDAH PEMANGKATAN BILANGAN Bilangan bukan 0 berpangkat 0 adalah 1 x0 = 1 (x ≠ 0) contoh: 30 = 1 Bilangan berpangkat 1 adalah bilangan itu sendiri x1 = x contoh: 51 = 1 0 berpangkat bilangan adalah 0 08 = 0 4. Bilangan berpangkat negatif adalah kebalikan pengali bilangan itu sendiri xˉª = 1/xª contoh: 3-2 = 1/32 = 1/9

Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatnya 5. Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri dengan suku pembagi dari pecahan xa/b = b√ xa contoh: 32/5 = 5√ 32 = 5√ 9 = 1,55 Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatnya (x/y)a = xa /yb contoh: (3/5)2 = 32/ 52 = 9/25 Bilangan pangkat dipangkatkan adalah bilangan berpangkat hasil kali pangkat-pangkatnya (xa)b = xab contoh: ( 32)4 = 32.4 = 38 = 6561

KAIDAH PERKALIAN BILANGAN BERPANGKAT Hasil kali bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat-pangkatnya xª . xⁿ = xª+n Contoh: 3²+4 = 36 = 729 2. Hasilkali bilangan berpangkat yang pangkatnya sama dan basisnya berbeda adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan xª . yª = (xy)ª Contoh: 3² . 5² = (3.5)² = 15² = 225

KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT Hasil bagi bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya xª : xⁿ = xªˉⁿ Contoh: 32 : 34 = 32-4 = 3-2 = 1/9 Hasil bagi bilangan berpangkat yang pangkatnya sama dan basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat bersangkutan xª : yª = (x/y)ª Contoh: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25 = 3/5

AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Jika bilangan yang sama (mis:x) dikalikan berulang sejumlah tertentu sebanyak a, maka dapat ditulis xª, dimana x disebut basis dan a disebut pangkat. Jika xª = m maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m yang ditulis dalam bentuk akar menjadi x = ª√m

KAIDAH PENGAKARAN BILANGAN Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya ª√x = x1/a contoh: 3√64 = 641/3 = 4 Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi ª√xⁿ = xn/a contoh: 5√32 = 32/5 = 1,55

Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akarnya ª√x y = ª√x . ª√y contoh: 3√8. 64 = 3√8 . 3√64 = 2. 4 = 8 Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya ª√x/y = ª√x / ª√y contoh: 3√8/64 = 3√8 / 3√64 = 2/4 = 0,5

KAIDAH PENJUMLAHAN (PENGURANGAN) BILANGAN TERAKAR Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan dan dikurangkan jika akar-akarnya pangkat dan radikalnya sama Contoh: 5 √3 + 2 √3 = 7 √3 = 7 (1,73) = 12,11

KAIDAH PERKALIAN BILANGAN TERAKAR Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilkali bilangan-bilangannya. Perkalian dapat dilakukan jika akar-akarnya berpangkat sama ª√z . ª√y = ª√z.y Contoh: ³√8 . ³√64 = ³√8 .64 = ³√512 = 8 Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan, pangkat baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar-akar sebelumnya Contoh: ²√³√ 15625 = 2.3√15625 = 5

KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN TERAKAR Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilbagi bilangan-bilangannya. Pembagian dapat dilakukan jika akar-akarnya berpangkat sama ª√z ª z ª√y y Contoh: ³√8 ³ 8 0,5 ³√64 64

LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari pemangkatan dan/atau pengakaran, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan operasi-operasi perkalian, pembagian pencarian pangkat dan penarikan akar nª = m dimana n adalah basis & a adalah pangkat maka pangkata disebut logaritma dari m terhadap basis n , dituliskan sbb: a = ⁿ log m Contoh: 5² = 25, pangkat 2 adalah logaritma dari 25 terhadap basis 5 atau 5log 25 =2

KAIDAH-KAIDAH LOGARITMA 1. ªlog a =1 sebab a¹ = a Contoh: ³log 3 = 1 2. ªlog 1 = 0 sebab aº = 1 Contoh: ³log 1 = 0 3. ªlog aⁿ = n Contoh: ³log 3² = 2 4. ªlog mⁿ = n. ªlog m Contoh: ³log 27² = 2. ³log 3³ = 2.3.1 = 6 5. ªlog m.n = ªlog m + ªlog n Contoh: ³log 81x27 = ³log 81 + ³log 27 = 4+3 = 7 6. ªlog m/n = ªlog m - ªlog n Contoh: ³log 81/27 = ³log 81 - ³log 27 = 4-3 = 1 7. ªlog n . ⁿlog a = 1

PENYELESAIAN PERSAMAAN DENGAN LOGARITMA Logaritma bisa digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial (persamaan dimana bilangan yang dicari berupa pangkat) dan persamaan logaritma (persamaan dimana bilangan yang dicari bilangan logaritma). Contoh: Hitunglah a untuk 3ªˉ¹ = 27 Dengan melog-kan 2 ruas: (x-1) log 3 = log 27 x -1 = log 27/ log 3 =1,4314/0,4771 x = 3 + 1 = 4

HUBUNGAN BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA aⁿ = m ⁿ m = a ªlog m = n Bentuk Bentuk Bentuk Pangkat Akar Logaritma