METODE NUMERIK INTERPOLASI

Interpolasi berguna untuk menaksir harga-harga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi mempunyai orde atau derajat. Macam-macam interpolasi : Interpolasi Linier Interpolasi Kuadrat Interpolasi Polinomial Interpolasi Lagrange

INTERPOLASI LINIER Menghubungkan dua buah titik data dengan garis lurus Diketahui nilai suatu fungsi di titik x0 dan x1, yaitu f (x0) dan f (x1). Dengan metode interpolasi linier akan dicari nilai fungsi di titik x, yaitu f1(x). Indeks 1 pada f1(x) menunjukkan bahwa interpolasi dilakukan dengan interpolasi polinomial order satu. Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti tampak dalam Gambar, terdapat hubungan berikut:

g

Persamaan diatas adalah rumus interpolasi linier, yang merupakan bentuk interpolasi polinomial order satu. Suku [f (x1)  f (x0)] / (x1  x0) adalah kemiringan garis yang menghubungkan dua titik data dan merupakan perkiraan beda hingga dari turunan pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan akan semakin baik. Contoh 1 : Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).   Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (6.2), dihitung dengan interpolasi linier nilai ln pada x = 2 berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 =6

f1(2) = 0 + (2  1) = 0,3583519. Interpolasi Kuadrat Besar kesalahan adalah: Et =  100 % = 48,3 %. Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4, maka: f1(2) = 0 + (2  1) = 0,46209813. Et =  100 % = 33,3 %. Interpolasi Kuadrat Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi, maka perkiraan dilakukan dengan menggunakan garis lengkung yang menghubungkan titik-titik data. Apabila terdapat tiga titik data, maka perkiraan dapat dilakukan dengan polinomial order dua. Untuk maksud tersebut persamaan polinomial order dua dapat ditulis dalam bentuk: f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)

f2(x) = b0 + b1 x – b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 – b2 x x0 – b2 x x1 atau f2(x) = a0 + a1 x + a2 x2 dengan a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1 a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1 a2 = b2 Selanjutnya untuk keperluan interpolasi, persamaan polinomial ditulis dalam bentuk persamaan. Berdasarkan titik data yang ada kemudian dihitung koefisien b0, b1, dan b2. Berikut ini diberikan prosedur untuk menentukan nilai dari koefisien-koefisien tersebut.  Koefisien b0 dapat dihitung dari persamaan (6.3), dengan memasukan nilai x = x0. f (x0) = bo + b1 (xo – x0) + b2 (x0 – x0) (x0 – x1) bo = f (x0) (6.4) bila persamaan (6.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3), kemudian dimasukkan ke dalam nilai x = x1, maka akan diperoleh koefisien b1: f (x1) = f (x0) + b1(x1 – x0) + b2(x1 – x0)(x1 – x1)