LA – RELASI 01

Relasi R merupakan himpunan yang anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pair), (a, b) ≠ (b, a) R = { (x, y) | x bertempat tinggal di y, x  A, y  B } R = { (Amir, Bandung), (Budi, Surabaya), (Cecep, Jakarta), (Diah, Jakarta) } Amir Budi Cecep Diah A Jakarta Bandung Surabaya B

Produk Cartesius dan Relasi Produk cartesius A dengan B : Himpunan semua pasangan terurut (a, b) untuk setiap a  A, b  B notasi : A x B A x B = { (x, y) | x  A, y  B } notasi : produk cartesius A x A = A2

Example A  B = {(1, p), (2, p), (3, p), (1, q), (2, q), (3, q) } B  A = {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q, 2), (q, 3) } banyaknya pasangan terurut elemen A x B = 6 pasangan A x B ≠ B  A 1 2 3 A p q B

Definisi Relasi Relasi binar (relasi) R dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu himpunan bagian dari A x B R  A x B

Diagram Koordinat/ Grafik relasi Penyajian Relasi Diagram Koordinat/ Grafik relasi 1 Matrik Relasi 2 RELASI Digraf 4 Diagram Panah 3

Diagram Koordinat Jika R relasi dari A ke B Maka, R disajikan sebagai himpunan titik pada bidang datar. Example : A = { 1, 2, 3} dan B = {p, q} relasi dari A ke B : R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)} q (1, q) (2, q) p (1, p) (3, p) 1 2 3 q (1, q) (2, q) (3, q) p (1, p) (2, p) (3, p) 1 2 3

Matrik Relasi/ Tabel Baris matrik menyatakan anggota himpunan A. Kolom matrik menyatakan anggota himpunan B. Elemen baris ke i kolom ke j matriks kita isi angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari B) (i, j)  R Dalam hal lain matriks kita isi dengan 0

Penyajian Matriks Relasi R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)} p q 1 1 1 2 0 1 3 1 0 1 1 0 1 1 0 M =

Diagram Panah jika, a  A dan b  B maka, (a, b)  R (buat anak panah dari a ke b) A B

Penyajian Diagram Panah R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)} A 1 2 3 B p q

Digraf Anggota himpunan A dan B dinyatakan sebagai simpul. simpul = lingkaran kecil berlabel ber anggota himpunan. jika a  A dengan b  B berkaitan maka, tarik garis (lurus/ lengkung) bertanda panah (disebut arkus) dari simpul berlabel a ke simpul berlabel b

Penyajian Digraf R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)} 1 p 2 q 3

Relasi Invers R = { (a, b) | a  A, b  B } R-1 = { (b, a) | b  B, a  A} R dalam penyajian koordinat diperoleh dengan menukar sumbu x menjadi y dan sebaliknya Relasi matriks dalam bentuk invers disajikan oleh matriks MT (transpose matriks M)

Example R = { (1,1), (4,2), (16,4) } maka, R adalah “x adalah istri dari y” maka, inversnya adalah “ x adalah suami dari y ”

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R, Relasi R–1, transpose terhadap matriks M,

Komposisi Relasi Misalkan R = relasi himpunan A ke himpunan B S = relasi dari himpunan B ke himpunan C. S  R = {(a, c)  a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b)  R dan (b, c)  S }

Misalkan Relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} adalah R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} Relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Maka komposisi relasi R dan S adalah   S  R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) } Komposisi relasi R dan S

contoh MR2  R1 = MR1  MR2 Relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

Matriks R2  R1 MR2  R1 = MR1 . MR2

Sifat Relasi Misal R sebuah relasi pada himpunan A Refleksi (a,a)  R untuk a  A Simetris (a,b)  R, berlaku (b,a)  R Transitif (a,b)  R, (b,c)  R berlaku (a,c)  R Anti Simetri (a,b)  R, (b,a)  R berlaku a = b

Selesai..