Operations Management OPERATIONS RESEARCH Operations Management Enos William J. Stevenson 8th edition

Metode Simpleks: Maksimisasi

METODE SIMPLEKS: MAKSIMALISASI Contoh 1  = 120x1 + 60 x2 3x1 + x2  15 x1 + 5x2  20 3x1 + 2x2  24 x1, x2  0

3x1 + x2 + s1 = 15 x1 + 5x2 + s2 = 20 3x1 + 2x2 + s3 = 24 x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1 0 0 15 5 0 1 0 20 3 2 0 0 1 24 -120 -60 0 0 0 0 120 indikator terbesar 5 20 8

3 1 1 0 0 15 5 0 1 0 20 3 2 0 0 1 24 -120 -60 0 0 0 0 x 1/3 1 1/3 1/3 0 0 5 5 0 1 0 20 3 2 0 0 1 24 -120 -60 0 0 0 0

Seterusnya, sama dengan Eliminasi Gauss. Kolom pivot ditentukan berdasarkan indikator dengan nilai positif terbesar. Nilai maksimal masing-masing variabel ditentukan setelah semua nilai indikator bernilai positif. Nilai variabel disubtitusi ke persamaan fungsi obyektif,  maksimal.

Contoh 2: Ditentukan fungsi obyektif  = 5x1+3x2 dengan kendala teknis: 6x1 + 2x2 ≤ 36 5x1 + 5x2 ≤ 40 2x1 + 4x2 ≤ 28 dan kendala non-negativitas: x1, x2 ≥ 0 Tentukanlah nilai optimum untuk , x1, dan x2

Penyelesaian: Langkah 1: Mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan. 6x1 + 2x2 = 36 5x1 + 5x2 = 40 2x1 + 4x2 = 28

Langkah 2: Menuliskan persamaan dalam bentuk matriks

Langkah 3: Menyusun tabel elemen matriks, dengan menambahkan kolom konstan K dan baris indikator (nilai negatif dari koefisien fungsi obyektif) x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0

Langkah 4: Menentukan elemen pivot: Tentukan nilai mutlak terbesar dari baris indikator Tentukan rasio terkecil antara kolom K dengan elemen kolom pivot x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0 Kolom pivot

Langkah 5: pivoting: kalikan baris yang mengandung elemen pivot dengan nilai kebalikan elemen pivotnya x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0 x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0

Langkah 6: Eliminasi elemen yang bukan elemen pivot: Baris II – 5(I) Baris III – 2(I) Baris IV – 5(I) Ulangi dari langkah 4 jika masih terdapat nilai negatif pada baris indikator x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 0 10/3 -5/6 1 0 10 0 10/3 -1/3 0 1 16 0 -4/3 5/6 0 0 30

Langkah 7: elemen pivot kedua Nilai mutlak indikator terbesar = 4/3 Rasio terkecil = 10/(10/3) = 3 pada baris II Baris kedua dikalikan dengan resiprok elemen pivotnya x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 0 1 -1/4 3/10 0 3 0 10/3 -1/3 0 1 16 0 -4/3 5/6 0 0 30

Langkah 8: eliminasi elemen yang bukan elemen pivot: Baris I - 1/3(II) Baris III – 10/3(II) Baris IV + 4/3(II) x1 x2 s1 s2 s3 K 1 0 ¼ -1/10 0 5 0 1 - ¼ 3/10 0 3 0 0 ½ -1 1 6 0 0 ½ 2/5 0 34

Hasil akhir nilai optimum: x1 = 5, x2 = 3  = 34 (pada kolom K) Jika x1 dan x2 disubtitusi ke persamaan pada langkah 1, maka: 2(5) + 4(3) + s3 = 28 s1 = 0, s2 = 0, dan s3 = 6  = 5(5) + 3(3) = 34, s3 tidak terpakai (sisa)