Sistem Persamaan Linear

Outline Definisi Sistem Persamaan Linear (SPL) Penyelesaian SPL sederhana Substitusi Eliminasi Matriks: Notasi dan Operasi Operasi Baris pada Matriks Penyelesaian SPL dengan Operasi Baris Matriks

Sistem Persamaan Linear Terdapat lebih dari satu variabel yang tidak diketahui nilainya. Terdapat lebih dari satu persamaan linear yang memuat variabel-variabel tersebut. Mencari solusi/penyelesaian suatu SPL adalah mencari nilai variabel yang tak-diketahui sehingga memenuhi semua persamaan linear yang ada.

Ilustrasi Perhatikan suatu SPL berikut: 2x + 3y = 10 x + y = 4 Solusi bagi SPL di atas adalah x = 2 dan y = 2 karena 2 (2) + 3 (2) = 10 dan 2 + 2 = 4 Bagaimana memperoleh solusi di atas?

Penyelesaian SPL Sederhana Perhatikan SPL berikut: 2x + 3y = 10 x + y = 4 untuk menyelesaikan SPL di atas, dapat dilakukan menggunakan salah satu teknik berikut: Metode Substitusi Metode Eliminasi

Metode Substitusi Mengganti suatu variabel sebagai fungsi dari variabel lain Ilustrasi 2x + 3y = 10 (i) x + y = 4 (ii) Persamaan (ii) dapat ditulis menjadi x = 4 – y Selanjutnya lakukan penggantian/substitusi x pada persamaan (i) dengan (4 – y) sehingga diperoleh: 2 (4 – y) + 3y = 10

Metode Substitusi Jika persamaan terakhir diselesaikan diperoleh 8 – 2y + 3y = 10 8 + y = 10 y = 2 Kemudian didapatkan x = 4 – y = 4 – 2 = 2 Sehingga solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 2 dan y = 2

Metode Eliminasi Menghilangkan salah satu variabel dari sistem persamaan dengan cara mengurangkan atau menambahkan satu persamaan dengan persamaan lain. Untuk melakukan penghilangan, seringkali diperlukan proses pengalian (penggandaan) terlebih dahulu terhadap salah satu persamaan.

Metode Eliminasi: menghilangkan x terlebih dahulu Ilustrasi 2x + 3y = 10 (i) x + y = 4 (ii) Seandainya persamaan (ii) dikalikan 2 maka akan diperoleh bentuk SPL baru, yaitu 2x + 2y = 8 (ii) Jika kedua persamaan diselisihkan, diperoleh y = 2 Masukkan y = 2 ke persamaan (ii) yang asli diperoleh x + 2 = 4  x = 2 Jadi solusinya x = 2 dan y = 2

Metode Eliminasi: menghilangkan y terlebih dahulu Ilustrasi 2x + 3y = 10 (i) x + y = 4 (ii) Seandainya persamaan (ii) dikalikan 3 maka akan diperoleh bentuk SPL baru, yaitu 3x + 3y = 12 (ii) Jika kedua persamaan diselisihkan, diperoleh -x = -2  x = 2 Masukkan x = 2 ke persamaan (ii) yang asli diperoleh 2 + y = 4  y = 2 Jadi solusinya x = 2 dan y = 2

Latihan Carilah solusi bagi SPL-SPL berikut ini 5x + y = 3 x + y = 1

Penyelesaian SPL dengan Operasi Matriks Metode penyelesaian SPL yang didiskusikan sebelumnya tidak efektif untuk SPL yang melibatkan lebih banyak persamaan dan lebih banyak variabel. Operasi baris matriks dapat dijadikan alternatif metode dalam penyelesaian SPL seperti ini. Akan dibahas terlebih dahulu dasar-dasar notasi matriks dan operasi dasar matriks.

Definisi Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf kapital A, B, C, ... Contoh: aij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j m×n = ukuran atau ordo matriks A Matriks yang hanya memiliki satu baris/kolom disebut vektor baris/kolom.

Beberapa Bentuk Matriks Matriks segi (square matrix): Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Elemen a11, a22, …, ann disebut elemen diagonal utama matriks A. Matriks segitiga atas (upper triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

Beberapa Bentuk Matriks Matriks Nol (null matrix): Matriks yang semua elemennya nol. Matriks identitas (identity matrix): Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Notasi: I.

Operasi Penjumlahan (dan Pengurangan) Matriks Andaikan A adalah matriks berukuran m  n, yang elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan sebagai aij Andaikan B adalah matriks berukuran m  n, yang elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan sebagai bij C = A + B, adalah matriks berukuran m  n dengan elemen cij yang diperoleh dari cij = aij + bij

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Operasi pada Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan dan pengurangan pada matriks terdefinisi jika matriks-matriks yang terlibat memiliki ukuran sama: Operasi berikut tidak terdefinisi:

Operasi pada Matriks Perkalian Perkalian skalar Perkalian matriks AB terdefinisi jika banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B. Selain itu tidak terdefinisi.

Transpos Matriks Misalkan A=(aij) adalah matriks berukuran m×n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis AT, adalah matriks berukuran n×m yang didefinisikan sebagai berikut: Sifat matriks transpos: 1. (A + B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3. (k A)T= k AT , untuk suatu skalar k 4. (AB)T = BT AT

Operasi Baris Dasar (1) Notasi: Eij Definisi: Tukarkan baris ke-i dengan baris ke-j

Operasi Baris Dasar (2) Notasi: Ei(k) Definisi: kalikan baris ke-i dengan konstanta k

Operasi Baris Dasar (3) Notasi: Eij(k) Definisi: tambahkan k kali baris ke-j terhadap baris ke-i

Menyelesaikan SPL dengan Operasi Baris Dasar Metode Eliminasi Gauss SPL dapat ditulis dalam bentuk matriks 3x + 2y + 2w = 6 6x + y + 4w = 9 2x + y + 2w = 4 Gabungkan matriks koefisien dengan vektor kolom di bagian kanan

Menyelesaikan SPL dengan Operasi Baris Dasar Lakukan operasi baris dasar pada matriks gabungan sehingga diperoleh matriks eselon baris tereduksi Matriks segitiga atas Unsur diagonal bernilai 1

Ilustrasi E1(1/3) E21(-6) E31(-2) E2(-1/3) E32(1/3) baris ke-3  w = 0.5 baris ke-2  y = 1 baris ke-1  x + 2/3 (1) + 2/3(0.5) = 2 x + 1 = 2  x = 1 E3(3/2)

Latihan: Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi Gauss x + 2y + 3z = 11 2x + y + z = 6 x + 3y + 2z = 11 x + 2y + 3z = 6 2x + y + z = 5 x + 3y + 2z = 8