Rina Pramitasari, S.Si., M.Cs. KALKULUS Rina Pramitasari, S.Si., M.Cs.

0.1 BILANGAN REAL, ESTIMASI, DAN LOGIKA

Bilangan Real Bilangan real adalah semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal An … A1A0,b1b2b3 … Bentuk desimal yang berhenti atau berulang menyatakan bilangan rasional, misalnya: 0,5 = ½ 0,333333 … = 1/3. Bentuk desimal yang tak berhenti dan tak berulang menyatakan bilangan irasional, misalnya: √2 = 1,4142135623 … Π = 3,1415926535 ….

Bilangan Real Himpunan bilangan real (R) memuat himpunan bilangan rasional (Q), yang memuat himpunan bilangan bulat (Z) Z = { … , ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3, … } dan himpunan bilangan asli (N) N = { 1, 2, 3, … }. Dalam hal ini, N c Z c Q c R. Selanjutnya, R merupakan himpunan semesta kita.

Bilangan Real Sistem bilangan real R dengan operasi penjumlahan + dan perkalian × padanya memenuhi: • sifat aljabar (komutatif, asosiatif, distributif, …). • sifat urutan (hukum trikotomi, transitif, …) yang melibatkan lambang <, =, >. • sifat kelengkapan, yaitu bahwa R ‘merupakan’ garis yang “tak berlubang”. Garis Bilangan Real sebagai representasi R:

Estimasi Dalam perhitungan, estimasi sering dilakukan. Sebagai contoh: • Π ≈ 3,14 • √2 ≈ 1,4 • 2^10 ≈ 1000

Logika Dalam berargumentasi, kita akan sering menggunakan kalimat “Jika … , maka …” Ingat Tabel Kebenaran “P → Q” (baca: “Jika P, maka Q”).

Urutan x < y <=> y – x positif x ≤ y <=> y – x positif / nol Contoh: 3 < 4 , 4 > 3

Pengukuran (quantifier) “Untuk semua x, P(x)” atau “Untuk setiap x, P(x)” . Ketika pernyataan P(x) benar untuk setiap nilai x “Terdapat sebuah x sedemikian rupa sehingga P(x)” . Ketika terdapat paling sedikit satu nilai x di mana untuk nilai tersebut P(x) benar.

Latihan 3[2-4(7-12)] (3X-4)(X+1) 1/12 0,123123123…

0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak 0.3 Sistem Koordinat Rektanguler

0.2 Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak Kalimat ¼ < ½ merupakan suatu ketaksamaan yang benar. Kalimat 1/x < ½ merupakan pertidaksamaan atau ketaksamaan yang kebenarannya masih “terbuka”: ia bisa benar, bisa juga salah; tergantung pada nilai x yang dipilih. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan dalam x berarti menentukan himpunan semua nilai x yang “memenuhi” pertidaksamaan tsb.

Notasi Selang

Menyelesaikan Pertidaksamaan Contoh 1 :

Contoh 2 :

Nilai Mutlak Nilai mutlak |x| menyatakan “jarak” dari 0 ke x pada garis bilangan real.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Contoh 3 :

Latihan Selesaikan pertidaksamaan berikut: 1. |3x+1| < 2|x-6|

Sistem Koordinat Rektanguler

Sistem Koordinat Cartesius

Titik tengah ruas garis yang menghubungkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) adalah

Untuk sebuah garis melalui A(x1,y1) dan B(x2,y2), dengan x1≠x2, Kemiringan (slope) m dari garis tersebut adalah

Garis yang melalui titik (tetap) (x1,y1) dengan kemiringan m persamaannya adalah Dengan memilih (0,b) sebagai (x1,y1) persamaannya adalah