MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem Bilangan Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

Konsep Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.  Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Secara umum himpunan dilambangkan dgn huruf besar, sedang anggota berhuruf kecil.

Penyajian Himpunan Enumerasi Contoh 1    Contoh 1 - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. Keanggotaan x  A : x merupakan anggota himpunan A; x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Penyajian Himpunan Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks   Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Penyajian Himpunan Notasi Pembentuk Himpunan   Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }    Contoh 2 A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5 A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

Diagram Venn Dan Himpunan Semesta Himpunan semesta: Himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan, disebut juga semesta pembicaraan Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Contoh 3 Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn:

HIMPUNAN KOSONG Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan himpunan kosong ; Dilambangkan dengan  atau { } Contoh: A= {} Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan.

Hubungan Antar Himpunan Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A  B Diagram Venn:

1. Operasi -Union Definisi : A U B = { x | x  A atau x B }   Contoh-1 A = { 2, 3, 5, 7, 9} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } C = { 10, 11, 14, 15} D = { Anto, 14, L} E = {1, 2, 4 } Maka : A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A U D = {2, 3, 5, 7, 9, Anto, 14, L} B U C = ? B U D = ? C U D = ? B A

2. Operasi - Irisan Definisi : A B = { x | x  A dan x B } Contoh : Maka : A = { 2, 3, 5, 7, 9} A  B = {2, 5} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } E  B = { 1,2 4} C = { 10, 11, 14, 15} A  C = { } A  E = {2} D = { Anto, 14, L} D  C = {14} E = {1, 2, 4 } A  D = { } B A

3. Operasi Selisih - Minus Definisi : A – B = { x | x  A dan x  B } Contoh A = {2,3,4,6,7,9} B = {1,2,3,5,6,8,9,10} C = {3,5,9} Maka : A – B = {4,7} B – A = {1,5,8,10} A – C = { B – C = { C – B = { B A

4. Operasi Beda Setangkup Definisi: A  B = { x | (x  A atau x B) dan X (A B) } A  B = (A U B) – (A  B) A  B = (A - B) U (B - A) Contoh: A = {1,2,3,5,6,8,9,10} ; B = {2,7,8,11} ; C = {1,3,5,7,9,11} ; D = {0,1,2,5,6,7,9,12} Maka : A  B = {1, 2,3,5,6, 7, 8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11} B  C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9} A  C = { A  D = { B A

5. Operasi - Komplemen Contoh : A = { 2, 3, 5, 6, 8) ; Definisi : Ac = { x | x  A dan x S } Contoh : A = { 2, 3, 5, 6, 8) ; B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13} S = { x | x bilangan asli  14} Maka : Ac = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14} Bc = {3,5, 8,11,12,14} A Ac 2 6 13 7 5 4 3 9 8 11 10 14 12 1 S A B

ATURAN DAN HUKUM OPERASI HIMPUNAN (GABUNGAN, IRISAN DAN KOMPLEMENTASI) A  B = B  A ; Hukum komutatif bagi gabungan A  B = B  A ; Hukum komutatif bagi irisan A  (B  C) = (A  B)  C ; Hukum asosiatif bagi gabungan A  (B  C) = (A  B)  C ; Hukum asosiatif bagi irisan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; Hukum distribusi bagi gabungan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; Hukum distribusi bagi irisan Sc =  (Ac) c = A A  Ac = S A  Ac =  (A  B) c = Ac  Bc ; Hukum De Morgan (A  B)c = Ac  Bc ; Hukum De Morgan

Hukum Aljabar Himpunan 1. Hukum idempoten A U A = A A  A = A 2. Hukum Asosiatif A U (B U C) = (AUB) U C  A  (B  C) = (A B)  C 3.Hukum komutatif A U B = B U A A B = B  A 4. Hukum Distributif A U (B  C) = (AUB) (A U C) A  (B U C) = (A B) U (A  C) 5. Hukum Identitas A U  = A A U S = S A  U = A A   =  6. Hukum Involusi (Ac ) c = A 7.Hukum Komplpemen A U Ac = S A  Ac =  Sc =  c = S 8. Hukum De Morgan  ( A U B )c = Ac  Bc   ( A  B )c = Ac U Bc

Jumlah Anggota Dalam Himpunan Berhingga n(A) = Jumlah anggota himpunan A n(B) = Jumlah anggota himpunan B n(C) = Jumlah anggota himpunan C n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) n(A  B) = n(A) + n(B) ; n(A  B) = 0 n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A  B) - n(A  C) -n(B  C) + n(A  B  C)

Latihan soal: Operasi Himpunan 1. Jika A = {1,3,4,7,8,9,12} B = {1,2,3,5,7,8} C = {2,4,6,8,10} S = {x| x adalah bilangan asli < 14}  a. Gambarkan Diagram Venn dari himpunan-himpunan di atas.  TENTUKANLAH b. A  (B - C) h. (A –B)  C      c. A  (A U B) i. (A  B) – (C  B)      d. B  (B  C) j. (B  C)c - A       e. (B - C)c  (A - B) k. B  ( Ac – C)  

Bilangan Nyata Khayal Irrasional Rasional Pecahan PEMBAGIAN JENIS BILANGAN Bilangan 2; -2; 1,1; -1,1 Nyata Khayal + - 0,1492525 0,14925253993999------ Hasil bagi antara 2 bilangan bulat, pecahan desimal terbatas, atau desimal berulang Irrasional Rasional Hasil bagi antara 2 bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang (, e) Hasil bagi antara 2 bilangan yang hasilnya pecahan dg desimal tak terbatas, berulang Bulat Pecahan Hasil bagi antara 2 bilangan yang hasilnya bulat, termasuk 0 (nol) ½; 2/7 1; 8 ;4

Hubungan perbandingan antar bilangan Tanda Ketidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda < melambangkan “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda > melambangkan “lebih besar dari atau sama dengan” Sifat Perbandingan Jika a < b, maka –a > -b Jika a < b dan x > 0, maka x.a < x.b Jika a < b dan x < 0, maka x.a > x.b Jika a < b dan c < d, maka a+c < b+d

Operasi Bilangan 1. Kaidah Komutatif a + b = b + a a x b = b x a 2. Kaidah Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c) 3. Kaidah Pembatalan a + c = b + c Maka : a = b a x c = b x c Maka : a = b

Operasi Bilangan 4. Kaidah Distributif a (b + c) = ab + ac 5. Unsur Penyama a + 0 = a a x 1 = 4 a : 1 = 4 6. Kebalikan a x 0 = a a x 1/a = 1

Operasi Tanda Operasi Penjumlahan a. (+ a) + (+b) = (+c) b. (- a) + (- b) = (- c) c. (+ a) + (- b) = (+ c) jika |a| > |b| (+ a) + (- b) = (- d) jika |a| < |b| d. (- a) + (+ b) = (+ c) jika |a| < |b| (- a) + (+ b) = (- d) jika |a| > |b|

Operasi Tanda Operasi Pengurangan a. (+ a) - (+ b) = (+ c) jika |a| > |b| (+ a) - (+ b) = (- d) jika |a| < |b| b. (- a) - (- b) = (+ c) jika |a| < |b| (- a) - (- b) = (- d) jika |a| > |b| c. (+ a) - (- b) = (+ c) d. (- a) - (+ b) = (- c)

Operasi Tanda Operasi Perkalian (+ a) x (+ b) = (+ c) (- a) x (- b) = (+ c) (+ a) x (- b) = (- c) (- a) x (+ b) = (- c) Operasi Pembagian (+ a) : (+ b) = (+ c) (- a) : (- b) = (+ c) (+ a) : (- b) = (- c) (- a) : (+ b) = (- c)

Operasi Bilangan Pecahan Operasi Pemadanan Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Operasi Perkalian Operasi Pembagian

Operasi Pemadanan Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Dua buah pecahan atau lebih, hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila mereka memiliki suku pembagi yang sama atau sejenis. Jika suku pembaginya belum sama, maka terlebih dahulu harus disamakan sebelum pecahan-pecahan tersebut ditambahkan dan dikurangkan.

Operasi Perkalian Operasi Pembagian

Latihan

TUGAS Diketahui Tentukan: A  B A  B  C A  B  C A – B A – C Ac  C S={bilangan bulat positif kurang dari 12} Tentukan: A  B A  B  C A  B  C A – B A – C Ac  C