“HUKUM-HUKUM TEORI HIMPUNAN” Oleh : Kelompok 5

KELOMPOK 5 (LIMA) 1. Siska Isma Ariani : Moderator dan Penyaji 2 ”Prinsip Dualitas” 2. Fitri Rezky Hamzani : Penyaji 1 “Sifat-Sifat Operasi Himpunan” 3. Riana Febrianti : Penyaji 3 “Himpunan Indeks” 4. Dewi Arnita : Penyaji 4 “Prinsip Penjumlahan”

HUKUM-HUKUM TEORI HIMPUNAN Sifat-Sifat Operasi Himpunan Prinsip Dualitas Himpunan Indeks Prinsip Penjumlahan

SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN Sifat-sifat dasar dari operasi-operasi himpunan berhubungan langsung dengan hukum-hukum logika. Banyak contoh hukum-hukum teoritik himpunan menyerupai sifat-sifat aritmetik dari bilangan-bilangan riil, dimana “∪” berperan seperti “+” dan “∩” berperan seperti ”x”.

Sifat-Sifat Operasi Himpunan Nama Hukum Identitas 1. Hukum Komutatif A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A 2. Hukum Asosiatif A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B)∪ C A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B)∩ C 3. Hukum Distributif A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C) A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C) 4. Hukum Komplemen Ganda Ā̅ = A 5. Hukum De Morgan A ∪Β = Ā̅ ∩B̅ A ∩Β = Ā̅ ∪B̅ 6. Hukum Idempoten A ∪A = A A ∩A = A 7. Hukum Identitas A ∪∅= A A ∩U = A 8. Hukum Invers A ∪A = U A ∩Ā̅ = ∅ 9. Hukum Dominasi A ∪U = U A ∩∅= ∅ 10. Hukum Absorpsi A ∪ (A∩B) = A A ∩ (A∪B) = A

Contoh : Buktikan hukum De Morgan, A ∪Β = Ā̅ ∩B̅ . Bukti : Akan ditunjukkan A ∪Β ⊆ Ā̅ ∩B̅ dan Ā̅ ∩B̅ ⊆ A ∪Β. Misalkan x ∈ U. a)x ∈ A ∪Β → x ∉ A ∪Β → x ∉ A ∧ x ∉ B → x ∈ Ā̅ ∧ x ∈ B̅ → x ∈ Ā̅ ∩B̅ Jadi, A ∪Β ⊆ Ā̅ ∩B̅ b) x ∈ Ā̅ ∩B̅ → x ∈ Ā̅ ∧ x ∈ B̅ → x ∉ A ∧ x ∉ B → x ∉ A ∪Β → x ∈ A ∪Β Jadi, Ā̅ ∩B̅ ⊆ A ∪Β.

PRINSIP DUALITAS Dua konsep yang berbeda dapat di pertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Jika kita menukar ∪ dengan ∩ dan S dengan ø dalam setiap pernyataan tentang himpunan, maka pernyataan baru tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya. Misalkan s adalah pernyataan (umum) yang berkaitan dengan kesamaan dari dua ekspresi himpunan. Masing- masing ekspresi mungkin memuat satu atau lebih pemunculan himpunan (seperti A, Ā, B, B̅, dst), satu atau lebih pemunculan ø dan U, dan hanya operasi himpunan ∪ dan ∩. Dual dari s, dilambangkan sd adalah himpunan yang diperoleh dari s dengan mengganti: (1) ø dengan U dan U dengan ø di dalam s (2) ∩ dengan ∪ dan ∪ dengan ∩ di dalam s

Contoh : (a) s : A ∩ (A∪B) = A sd : A ∪ (A ∩ B) =A (b) s : A ∪Β = Ā̅ ∩B̅ sd : A ∩Β = Ā̅ ∪ B̅

HIMPUNAN INDEKS Misalkan I adalah himpunan tidak kosong dan U himpunan semesta. Untuk setiap i∈l misalkan Ai ⊆ U. I disebut himpunan indeks (atau himpunan dari indeks) dan setiap i∈I disebut indeks. = {x∣x∈Ai untuk sekurang-kurangnya satu i∈I} dan = {x∣x∈Ai untuk setiap i∈I}

Contoh: Misalkan I = {3,4,5,6} dan untuk setiap i∈I misalkan Ai= {1,2,…,i}⊆U=Z+ . Maka = {1,2,3,…,6}= A6, sedangkan ={1,2,3}=A3. Jika K = {1, 2, 3, … n}, maka { : i∈K} = {A1 ∪ A2 ∪ …∪ An} Jika K = {1, 2, 3, … }, maka { : i∈K} = {A1∪ A2 ∪ … }

PRINSIP PENJUMLAHAN Misal A dan B himpunan – himpunan bagian berhingga dari himpunan semesta U. kardinalitas dari A ∪ B adalah |A∪B|, yaitu banyaknya elemen didalam A∪B. Prinsip penjumlahan disajikan dalam teorema – teorema berikut. Teorema 7.7 Jika A dan B adalah himpunan – himpunan berhingga, maka koleksi K={A-B, B-A, A∩B} adalah keluarga pasangan himpunan dijoin dan A ∪ B= (A-B) ∪ (B-A) ∪ (A∩B).

Teorema 7.8 Jika A dan B adalah himpunan – himpunan berhingga, maka ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣. Jika A dan B saling asing, maka ∣A∪B∣=∣A∣+∣B|. Contoh 1 : Misalkan A= {1, 2, 3, 4, 5} dan B= {3, 5, 6, 8, 9, 10} Verifikasi Teorema 7.8. Penyelesaian: A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,9,10} dan A∩B = {3, 5}. Maka |A|=5, |B|=6, |A∪B|=9 dan |A∩B|= 2. Jadi, |A∪B|= 9 = |A|+|B|-|A∩B|= 5+6-2.

Contoh 2: Dalam sebuah kelas terdiri dari 60 siswa, 25 mahasiswa mengambil geometri, 40 mengambil logika matematika dan 20 mahasiswa mengambil kedua-duanya. Berapa mahasiswa yang mengambil geometri atau logika matematika? Penyelesaian: Dik : U = 60 ∣A∣ = 25 ∣B∣ = 40 ∣A∩B∣ = 20 Dit : ∣A∪B∣ …? Jawab : ∣A∪B∣ = ∣A∣ + ∣B∣ - ∣A∩B∣ = 25 + 40 – 20 = 45

TERIMA KASIH