DUALITAS dan ANALISIS SENSITIVITAS Adinda Nurul Huda M, MSi

Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu: Model primal adalah bentuk asli dari suatu model program linier yang akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba ataupun biaya memproduksi barang. Model dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal yang akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber- sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut.

Hubungan Primal-Dual Koefisien fungsi tujuan primal menjadi sisi kanan masalah dual, sebaliknya, konstan sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual. Tanda pertidaksamaan batasan dibalik. Tujuan diubah dari minimalisasi (maksimalisasi) dalam primal menjadi maksimalisasi (minimalisasi) dalam dual. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris (batasan) dalam dual, sehingga banyaknya batasan dalam dual sama dengan banyaknya variable primal. Setiap baris (batasan) pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual, sehingga ada satu variable dual untuk setiap batasan primal. Bentuk dual dari dual adalah bentuk primal.

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Primal dengan Big M

A1 A2 A1 A2 A1 A2 A2

Tabel optimum Primal A1 A2

Dual dengan Simpleks

Hasil Primal vs Dual A1 A2

Analisis Sensitivitas Dalam membicarakan analisis sensitivitas, perubahan-perubahan parameter dikelompokan menjadi: 1. Perubahan koefisien fungsi tujuan 2. Perubahan konstan sisi kanan 3. Perubahan batasan atau kendala 4. Penambahan variable baru 5. Penambahan batasan atau kendala baru.

Analisis Dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Dipunyai formulasi model program linier : Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X1 + 200 X2 Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 < 40 (jam tenaga kerja) 18 X1 + 18 X2 < 216 (pon kayu) 24 X1 + 12 X2 < 240 (m2 tempat penyimpanan) X1 , X2 > 0 Dimana X1 = jumlah meja yang diproduksi, X2 = jumlah kursi yang diproduksi

Simpleks Optimalnya VB X1 X2 S1 S2 S3 NK Z 160 200 20 20/3 2240 1 1/2 2240 1 1/2 -1/18 8 -1/2 1/9 4 6 -2 48

Bila koefisien fungsi tujuan diberi notasi cj, maka untuk masalah ini diketahui bahwa c1 = laba yang diperoleh dari meja = $160 c2 = laba yang diperoleh dari kursi = $ 200 Seandainya, nilai c1 dari 160 dirubah, maka dapat dituliskan bahwa c1 = 160 + ∆. Analisis sensitivitas berusaha menentukan seberapa jauh (range) perubahan pada cj dapat dilakukan tanpa harus mengubah solusi optimal

Dampak perubahan ini pada solusi model c1 = 160 + ∆, sbb. : VB X1 X2 S1 S2 S3 NK Z 160+Δ 200 20- Δ/2 20/3+ Δ/9 2240+4Δ 1 ½ -1/18 8 -1/2 1/9 4 6 -2 48 VB S1 S2 S3 Z Zbaru 20- Δ/2 20/3+ Δ/9 Z-Zbaru -20+Δ/2 20/3-Δ/9

Solusi pada tabel diatas akan tetap optimal bila nilai Z – Zbaru tetap negatif, sehingga supaya solusi tetap optimal berlaku : -20 + ∆/2 < 0 -20/3 - ∆/9 < 0 ∆/2 < 20 - ∆/9 < 20/3 ∆ < 40 -∆ < 60 ∆ > -60

Diketahui bahwa c1 = 160 + ∆, sehingga ∆ = c1 – 160 Diketahui bahwa c1 = 160 + ∆, sehingga ∆ = c1 – 160. Dengan mensubstitusikan nilai c1 – 160 pada ∆, diperoleh : ∆ < 40 ∆ > -60 c1 – 160 < 40 c1 – 160 > -60 c1 < 200 c1 > 100 Kesimpulan yang dapat diambil untuk nilai range c1 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan (meskipun nilai fungsi tujuan berubah) adalah : 100 < c1 < 200

Dengan cara yang sama, maka diperoleh nilai range untuk c2 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan adalah : 160 < c2 < 320 Jadi, range untuk fungsi tujuan untuk masalah ini adalah : 100 < c1 < 200 Catatan : Range ini hanya menunjukkan perubahan yang memungkinkan pada nilai c1 saja, atau c2 saja, dan bukan perubahan pada keduanya secara bersama-sama (sifat Additivity)

TERIMA KASIH