KALKULUS DIFERENSIAL

Kalkulus diferensial digunakan untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi tujuan secara efisien dan untuk pengambilan keputusan melalui analisis marginal dimana pilihan-pilihan yang ada dalam pengambilan keputusan dibatasi oleh beberapa kendala.

Kalkulus Diferensial Bermanfaat bagi masalah optimisasi terkendala. Fungsi Y = f(X) Jika menunjukkan perubahan nilai maka menggunakan tanda Δ sehingga menjadi ΔX dan ΔY

Konsep Turunan Marginal Y = ∆Y - ∆X ∆Y - ∆X = 𝑌2−𝑌1 𝑋2 −𝑋1 JikaDiturunkan 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑌 ∆𝑋

Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut sebagai hasil bagi perbedaan (difference quotient), yang mencerminkanatau koefisien diferensi tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap perubahan variabel bebas x Proses penurunan fungsi disebut juga proses diferensiasi  merupakan penentuan limit suatu koefisien diferensi (∆x sangat kecil) Hasil proses diferensiasi dinamakan turunan atau derivatif (derivative).

penotasian Cara penotasian dari turunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam : Paling lazim digunakan ∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari garis kurva y = f(x)

Kaidah-kaidah diferensiasi Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0 contoh : y = 5  dy/dx = 0 Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1 contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2

Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv, dimana v = h(x),  dy/dx = k dv/dx contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) = 15x2 Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :

Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dx contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x2 du/dx = 8x  v = x3 dv/dx = 3x2 dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2 Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)

Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)

Fungsi Konstan Contoh: Tentukan turunan pertama(dy/dx) dari : 1.Y = 3 maka dy/dx = 0 2.Y = -5 maka dy/dx = 0 3.Y = 2/3 maka dy/dx = 0 4.Y = 5³ maka dy/dx = 0

Fungsi Pangkat Contoh: Y = 5x³ maka dy/dx = 5.3x³ˉ¹ dy/dx = 15x²

Fungsi Pertambahan & Pengurangan Tentukan turunan pertama (dy/dx) dari Persamaan berikut : 1. Y = 2X3 + 5X2 – 6X - 8 2. Y = 6X5 - X2 – 2X + 5 3. Y = -2X3 - 5X – 6X2 + 1

Fungsi Pertambahan & Pengurangan Y = 2X3 + 5X2 – 6X – 8 dy/dx = 6X2 + 10X1 – 6X0 - 0 dY/dX = 6X2 + 10X - 6 Y = 6X5 - X2 – 2X + 5 dy/dx = 30X4 - 2X1 –2X0 + 0 dY/dX = 30X4 -2X - 2 3. Y = -2X3 - 5X – 6X2 + 1 dy/dx = -6X2 – 5X0 – 12X1 + 0 dy/dx = -6x2 – 5 – 12x dy/dx = -6X2 – 12X - 5

Fungsi Perkalian/Hasil Dua Fungsi Contoh: 1.Y =(2x-6)⁵(3x+7)⁶ Misal:U=(2x-6)⁵ V=(3x+7)⁶ du=5(2x-6)⁴.2 dv=6(3x+7)⁵.3 du=10(2x-6)⁴ dv=18(3x+7)⁵ dy/dx =(3x+7)⁶.[10(2x-6)⁴ ] +(2x-6)⁵.[18(3x+7)⁵] =2(3x+7)⁵.(2x-6)⁴[5(3x+7) +9(2x-6)] = 2(3x+7)⁵.(2x-6)⁴.(33x- 19)

Fungsi Pembagian Contoh: 1.Y = 2x+ 5 4x+1 Misal: U=2X+5 V=4X+1 du=2 dv=4 dy/dx=(4x+1).2 – (2x+5).4 (4x+1)² = 8x+2 – 8x + 20 16x²+8x+1 (a + b )² = a ² + 2ab + b ² = 22 16x²+8x+1

Fungsi Pembagian Y = 5X + 3 X – 4 U = 5X + 3 maka du = 5 V = X – 4 maka dV = 1 dy/dx = (X – 4).5 – (5X + 3).1 (X – 4)2 dy/dx = 5X – 20 – 5X + 3 X2 – 8X + 16 dy/dx = - 17

Fungsi dari Fungsi Tentukan turunan pertama dari : Y = 3(x2 – 5x + 1)5

Fungsi dari Fungsi 1. Y = 3(x2 – 5x + 1)5 Jawab: dy/dx = 3.5(x2 – 5x + 1) 5-1.(2x – 5) dy/dx = 15(2x – 5)(x2 – 5x + 1)4 dy/dx = (30x – 75)(x2 – 5x + 1)4

2. Y = 4(5X – 3X2 ) 3 JAWAB: dy/dx = 4.3(5x – 3x2) 3-1.(5 – 6x) dy/dx = 12(5 – 6x)(5x – 3x2)2 dy/dx = (60 – 72x)(5x – 3x2)2