TUTUPAN RELASI (Closure of Relation) Harni Kusniyati closure of relation

Contoh 1: Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak refleksif. Bagaimana membuat relasi refleksif yang sesedikit mungkin dan mengandung R? closure of relation

Relasi baru, S, mengandung R, yaitu Tambahkan (2, 2) dan (3, 3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam R) Relasi baru, S, mengandung R, yaitu   S = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3) } Relasi S disebut klosur refleksif (reflexive closure) dari R. closure of relation

Contoh 2: Relasi R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak setangkup. Bagaimana membuat relasi setangkup yang sesedikit mungkin dan mengandung R? closure of relation

Tambahkan (3, 1) dan (2, 3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam S agar S menjadi setangkup). Relasi baru, S, mengandung R:   S = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)} Relasi S disebut klosur setangkup (symmetric closure) dari R. closure of relation

Misalkan R adalah relasi pada himpunan A Misalkan R adalah relasi pada himpunan A. R dapat memiliki atau tidak memiliki sifat P, seperti refleksif, setangkup, atau menghantar. Jika terdapat relasi S dengan sifat P yang mengandung R sedemikian sehingga S adalah himpunan bagian dari setiap relasi dengan sifat P yang mengandung R, maka S disebut klosur (closure) atau tutupan dari R [ROS03]. closure of relation

Klosur Refleksif Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A. Klosur refleksif dari R adalah R  , yang dalam hal ini  = {(a, a) | a  A}. closure of relation

sehingga klosur refleksif dari R adalah Contoh: R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3} maka  = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, sehingga klosur refleksif dari R adalah   R   = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)}  {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} closure of relation

Contoh: Misalkan R adalah relasi {(a, b) | a  b} pada himpunan bilangan bulat. Klosur refleksif dari R adalah   R   = {(a, b) | a  b}  {(a, a) | a  Z} = {(a, b) | a, b  Z} closure of relation

Klosur setangkup Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A. Klosur setangkup dari R adalah R  R-1, dengan R-1 = {(b, a) | (a, b) a  R}. closure of relation

sehingga klosur setangkup dari R adalah Contoh: R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}, maka R-1 = {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} sehingga klosur setangkup dari R adalah   R  R-1 = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)}  {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)} closure of relation

Contoh: Misalkan R adalah relasi {(a, b) | a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulat. Klosur setangkup dari R adalah   R  R-1 = {(a, b) | a habis membagi b}  {(b, a) | b habis membagi a} = {(a, b) | a habis membagi b atau b habis membagi a} closure of relation

Klosur menghantar/transitif Pembentukan klosur menghantar lebih sulit daripada dua buah klosur sebelumnya. Contoh: R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2)} adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}. R tidak transitif karena tidak mengandung semua pasangan (a, c) sedemikian sehingga (a, b) dan (b, c) di dalam R. Pasangan (a, c) yang tidak terdapat di dalam R adalah (1, 1), (2, 2), (2, 4), dan (3, 1).   closure of relation

Penambahan semua pasangan ini ke dalam R sehingga menjadi   S = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1)} tidak menghasilkan relasi yang bersifat menghantar karena, misalnya terdapat (3, 1)  S dan (1, 4)  S, tetapi (3, 4)  S. closure of relation

Kosur menghantar dari R adalah R* = R2  R3  …  Rn   R* = R2  R3  …  Rn Jika MR adalah matriks yang merepresentasikan R pada sebuah himpunan dengan n elemen, maka matriks klosur menghantar R* adalah closure of relation

Definisi closure of relation

closure of relation

closure of relation

Latihan (1). Misal A = { a, b, c ,d }, R A x A : R = { (a,b), (b,c), (c,d) } Carilah Tutupan Transitif R+ dan Tutupan Transitif Refleksif dengan graf ! closure of relation

Jawab closure of relation

closure of relation

(2). Misal A = { a, b, c ,d, e }, R A x A : R = { (a,a), (a,b), (b,c), (c,d), (c,e), (d,e) } Carilah Tutupan Transitif R+ secara langsung dan dengan cara graf ! closure of relation

Jawab closure of relation

closure of relation

closure of relation

Latihan Misal A = { 1, 2, 3, 4 }, R A x A : Carilah Tutupan Transitif R+ dan Tutupan Transitif Refleksif dengan graf ! 2. Misal A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, R A x A : R = { (1,1), (1,2), (2,3), (3,4), (3,5), (4,5) } Carilah Tutupan Transitif R+ secara langsung dan dengan cara graf ! closure of relation

PARTIALLY ORDERED SET (POSET) Misal R relasi biner pada himpunan A, R disebut relasi Partial Order  R Refleksif, Transitif, dan Antisimetris. “ ≤ “ adalah symbol relasi “Partial Order”, bukan relasi “lebih kecil atau sama dengan” Himpunan A dengan relasi Partial Order “ ≤ ” disebut PARTIALLY ORDERED SET (POSET) closure of relation

Gambarkan graf berarahnya dan posetnya! Contoh: Pada kasus khusus, missal A = { 2, 3, 6, 8 } dan ≤ adalah relasi “membagi” pada A, maka ≤ = { (2,2), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (6,6), (8,8) } Gambarkan graf berarahnya dan posetnya! closure of relation

jawab closure of relation

DIAGRAM HASSE Diagram Hasse menyederhanakan graf berarah dengan: a). Menghilangkan loop. b). Menghilangkan garis transitif. c). Menghilangkan penunjuk panah. closure of relation

Graf berarah yang sesuai adalah: Perhatikan relasi “ | “ ( pembagi ) pada himpunan A = { 1, 2, 3, 9, 18 }. Relasi Partial Order selalu memuat loop (karena refleksif) dan garis-garis transitif Graf berarah yang sesuai adalah: closure of relation

closure of relation

Latihan Diketahui himpunan X = { 2, 3, 4, 5, 6, 10 } dan Poset (X, R). Relasi ≤ didefinisikan sebagai berikut: ( ٧ x,y X ) x R y  x faktor dari y Ditanyakan: a). Buatlah himpunan relasi R & diagram panahnya ! b). Gambarlah graf berarah dari R ! c). Gambarlah diagram Hasse dari graf berarah tersebut ! closure of relation

Latihan: X = { 3, 5, 10, 15, 18, 30 } X = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 12 } X = { 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 } closure of relation