STRUKTUR ALJABAR I Kusnandi

PENGANTAR TEORI GRUP Apa arti Himpunan ? Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas Pilih suatu himpunan yang paling Anda kenali ! Ambil dua anggota dari himpunan yang Anda pilih Apa yang bisa Anda lakukan dari kedua anggota itu ? Proses yang Anda lakukan terhadap kedua anggota itu dikenal di dalam matematika dengan nama Operasi biner Carilah proses yang lain (operasi biner) yang bisa Anda lakukan terhadap kedua anggota itu !

Pengertian Operasi Biner Perhatikan himpunan bilangan bulat B Ketika kita menerapkan suatu operasi biner, misalnya operasi + pada bilangan bulat, apa yang Anda lakukan ? Di dalam teori himpunan kita sudah mengenal suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua pasangan terurut dari himpunan B, himpunan itu adalah Berdasarkan proses pengerjaan operasi + pada bilangan bulat, untuk setiap pasangan bilangan bulat anggota BxB selalu tepat ada satu bilangan bulat anggota B. Di dalam matematika, proses pengerjaan ini dinamakan Jadi, operasi biner pada bilangan bulat adalah suatu fungsi dari BxB ke B. Berikan contoh operasi biner yang lainnya ! Apakah operasi pembagian pembagian (: ) pada bilangan bulat merupakan suatu operasi biner ? Adakah operasi yang hanya melibatkan satu bilangan ? Operasi uner adalah fungsi dari G ke G Contoh operasi uner :  , log , ax B x B fungsi

Beberapa Sifat Operasi Sifat komutatif Suatu operasi * dalam himpunan G dikatakan bersifat komutatif apabila berlaku a * b = b * a untuk setiap a, b  G. Berikan contoh himpunan dan operasinya yang bersifat komutatif ! Berikan contoh himpunan dan operasinya yang tidak komutatif ! Perhatikan himpunan bilangan bulat B dengan operasi * yang didefinisikan dengan a * b = a – b + ab ,  a, b  B Apakah operasi * bersifat komutatif ? Jelaskan Sifat Asosiatif Suatu operasi * dalam himpunan G dikatakan bersifat asosiatif apabila berlaku (a * b) * c = a * (b * c),  a, b, c  G Berikan contoh himpunan dan operasinya yang bersifat asosiatif ! Berikan contoh himpunan dan operasinya yang bersifat tidak asosiatif ! Perhatikan himpunan bilangan bulat B dengan operasi * yang didefinisikan dengan a * b = a + b + 2ab,  a, b  B Apakah operasi * bersifat asosiatif ? Jelaskan

Sifat Himpunan terhadap operasinya Perhatikan himpunan bilangan bulat B terhadap operasi perkalian ( x ) dan operasi pembagian ( : ). Apa perbedaannya ditinjau dari hasil pengoperasian ? Himpunan bilangan bulat B dikatakan tertutup terhadap operasi perkalian, dan dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian. Apa hubungannya antara sifat tertutup dari suatu himpunan dengan operasi biner Perhatikan himpunan bilangan ganjil G1 dan berlaku a o b = a + b + 1, a, b  G1 a. Apakah o merupakan operasi biner ? b. Apakah G1 bersifat tertutup terhadap operasi o ? c. Apakah G1 bersifat komutatif ? d. Apakah G1 bersifat asosiatif ? Perhatikan himpunan bilangan bulat B dan himpunan bilangan asli N terhadap operasi penjumlahan ( + ).

a. Adakah anggota e dari B yang bersifat a + e = e + a = a,  a  B ? b. Adakah anggota e dari N yang bersifat a + e = e + a = a,  a  N ? Himpunan B dikatakan memiliki elemen identitas, sedangkan himpunan N tidak memiliki elemen identitas terhadap operasi +. Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, dan berlaku x * y = x + y – xy  x, y  R a. Apakah R tertutup terhadap operasi * b. Apakah operasi * bersifat komutatif ? c. Apakah operasi * bersifat asosiatif ? d. Apakah R memiliki elemen identitas terhadap operasi * ? Perhatikan himpunan bilangan bulat (B, +) dan himpunan bilangan rasional (Q, x). a. Bilangan 0 adalah elemen identitas dari (B, +), apakah berlaku sifat bahwa untuk setiap bilangan a  B selalu ada x  B sehingga a + x = x + a = 0 ?

b. Adakah elemen identitas di Q terhadap operasi x ? Apakah berlaku sifat bahwa  a  Q selalu  x  Q sehingga a x x = x x a = 1 ? Setiap elemen himpunan (B, +) dikatakan memiliki invers, sedangkan himpunan (Q, x) tidak setiap elemennya memiliki invers. Misalkan Q(2) = {a + b2 | a, b  Q) terhadap operasi perkalian biasa a. Apakah Q(2) tertutup terhadap operasi perkalian biasa (x)? b. Apakah operasi x bersifat komutatif dalam Q(2) ? c. Apakah operasi x bersifat asosiatif dalam Q(2) ? d. Apakah Q(2) memiliki elemen identitas terhadap operasi x ? e. Apakah setiap elemen Q(2) memiliki invers ?

Terima Kasih GOOD LUCK