EIGEN VALUE and EIGEN VECTOR DIAGONALIZATION RUANG EIGEN EIGEN VALUE and EIGEN VECTOR DIAGONALIZATION

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Definisi Jika A adalah matrks nxn, maka vektor tak nol x di Rn disebut vektor eigen dari A dan skalar  disebut nilai eigen dari A jika terpenuhi persamaan Ax = x Menemukan nilai eigen A Untuk menemukan nilai eigen dari matriks A nxn, tuliskan Ax = x menjadi Ax = Ix atau (I -A)x=0 Harus terdapat solusi tak-nol dari (I -A)x=0. sistem persamaan tersebut memiliki solusi tak-nol jika det(I -A)=0 Persamaan karakteristik 12 September 2018 Eigen Space

EIGEN VALUE and EIGEN VECTOR Contoh Temukan nilai eigen dari Solusi Persamaan karakteristik det(I -A)=0 =(-2) ((-3)+2) Nilai eigen : 1,dan 2 =(-2) (-2) (-1) = 0 12 September 2018 Eigen Space

EIGEN VALUE and EIGEN VECTOR Menemukan vektor eigen dari A Untuk tiap nilai eigen, kita dapat menemukan vektor eigen dari A dengan mensubtitusi nilai eigen ke sistem persamaan (I -A)x=0 dan selesaikan persamaan tersebut. Ruang solusi persamaan tersebut disebut ruang eigen yang berpadanan dengan . Vektor-vektor eigen yang berpadanan dengan  adalah vektor-vektor tak nol dalam ruang eigen Contoh Temukan basis bagi ruang eigen dari Solusi Nilai eigen dari A adalah 1 dan 2 (lihat halaman 3) 12 September 2018 Eigen Space

EIGEN VALUE and EIGEN VECTOR Solusi (lanjutan) Dengan mensubtitusi  =1 ke persamaan: (I-A) x = 0, didapat  =1  (I-A) x = 0 Basis bagi ruang eigen yang berpadanan dengan =1 adalah 12 September 2018 Eigen Space

EIGEN VALUE and EIGEN VECTOR Solusi (lanjutan) Dengan mensubtitusi  =2 ke persamaan: (I-A) x = 0, diperoleh  =2  (I-A) x = 0 Basis bagi ruang eigen yang berpadanan dengan =2 adalah 12 September 2018 Eigen Space

DIAGONALISASI Definisi Misalkan A matriks nxn, maka A dikatakan dapat didiagonalkan jika terdapat matriks invertible P sedemikian sehingga P-1AP matriks diagonal. P disebut matriks yang mendiagonalkan A Menemukan P Jika A (nxn) punya n vektor eigen bebas linier {x1, x2, …, xn} yang berpadanan dengan n nilai eigen {1,2,…,n}, maka P (matriks yang mendiagonalkan A) adalah Jika D adalah matrik diagonal nxn dan D=P-1AP , maka Urutan 1,2,…,n bergantung pada urutan x1, x2, …, xn 12 September 2018 Eigen Space

DIAGONALISASI CONTOH temukan P (matriks yang mendiagonalkan A) dan D (D=P-1AP) Solusi Basis bagi riuang eigen yang berpadanan dengan  =1 (lihat hal 5) Basis bagi ruang eigen yg berpadanan dgn  =2 (lihat hal 6) n=3 (A3x3) Maka, basis bagi ruang eigan dari A adalah Bebas linier dan 12 September 2018 Eigen Space

Latihan Misalkan Ax = kx , x adalah vektor taknol dan k : skalar taknol, temukan k dan x yang berpadanan dengan k jika Temukan matriks C yang mendiagonalkan B dan matriks diagonal D dimana D=C-1BC dengan Misalkan A adalah matriks nxn mempunyai basis bebas linier dari ruang eigen yaitu: berpadanan dengan nilai eigen {1,1,5}. Temukan A 12 September 2018 Eigen Space