CCM110 MATEMATIKA DISKRIT Pertemuan ke- 5 , Aljabar Boolean Drs.Holder Simorangkir , M.Kom Prodi Teknik Informatika , Fakultas Ilmu Komputer

KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN Mahasiswa nantinya mampu menyederhanakan rangkaian logika dengan Input dan Output yang sama sementara proses sudah berubah.

ALJABAR BOOLE Aljabar Boole adalah cabang ilmu matematika yang diperlukan untuk mempelajari desain logika dari sebuah sistem digital. Aljabar Boole dikembangkan oleh George Boole di tahun 1847 untuk memecahkan persoalan logika matematika. Aplikasi Aljabar Boole Dalam Jaringan Switching Jaringan switching adalah suatu alat yang pada umumnya mengenal dua keadaan yaitu : Voltage Tinggi ( Nilainya = 1 ) dan Voltage Rendah ( Nilainya = 0 ) , demikian untuk Input dan Output bernilai “1 = On” dan “0 = Off”.

Untuk dapat menyelesaikan persoalan jaringan switching ini harus mengetahui hukum-hukum Aljabar Boole, di mana a, b , c ɛ B ( B = Himpunan Boole ) , yang memenuhinya : Komutatif : a + b = b + a ; a x b = b x a Assosiatif : (a+b)+c = a+(b+c) ; (axb)xc = ax(bxc) Distributif : a+(bxc) = (a+b)x(axc) ; ax(b+c) = (axb)+(axc) Identitas : a+0 = a , 0=elemen zero ; ax1=a , 1 = elemen unit Komplemen : a+a’ = 1 ; axa’=0 Idempoten : a + a = a ; a x a = a Boundednes: a + 1 = 1 ; a x 0 = 0 Absorbsi : a + ( a x b ) = a ; a x (a + b ) = a Involusi : (a’)’ = a ; 0’ = 1 ; 1’ = 0

10. De Morgan : ( a x b )’ = a’ + b’ ; ( a + b )’ = a’ x b’ Catatan : ada 9 pasang hukum di mana operasi logik + diganti dengan x , x dengan + , 0 dengan 1 , 1 dengan 0 , ini menunjukkan bahwa hukum-hukum aljabar boole memenuhi prinsip duality , yaitu dual suatu teori merupakan teori juga. Jaringan switching pada umumnya dibentuk dari rangkaian dasar yaitu seri ( AND ) dan Paralel ( OR ). * Rangkaian Seri ( AND ) : Bola lampu Notasi : A x B atau A ᴧ B i A B On = ?

* Rangkaian Paralel ( OR ) A Bola lampu Notasi : A + B atau A ᴠ B i “ On = ? “ Contoh : Gambarkan jaringan switching yang diberikan oleh polinomial Boole ( x ᴧ ( y ᴠ x ) ᴧ ( x ᴠ y )’ , dengan menggunakan Hukum-hukum Aljabar Boole , pada saat bagaimana Input dari rangkaian tersebut dalam keadaan “ON” dan buat tabel kebenaran. * Aplikasi Aljabar Boole Pada Rangkaian Logik ( Gate ) Sebagian besar rangkaian dalam hardware sistem pengolahan data adalah rangkaian logik. B

Ada beberapa simbol yang sering digunakan dalam rangkaian logik , yaitu : AND A E=AxB B OR A E = A + B NOT A A’ E = A’ A B AxB T F A B A+B T F A A’ T F

4. NOT AND ( NAND ) 5. NOT OR ( NOR ) A B AxB E T F A E = (AxB)’ B A B A+B E = (A+B)’ T F

Exclusive OR ( XOR ) A B E = AB’ + A’B Exclusive NOR A B A + B = E T F

Contoh : Gambarkan rangkaian logika yang dinyatakan oleh E = (A’ ᴠ ( A ᴧ B)’) ᴧ (B’ᴧ (B’ ᴠ C )) Buktikan dengan tabel kebenaran sebelum dan sesudah disederhanakan dengan Hukum-hukum aljabar boole

Aplikasi Aljabar Boole Dalam Operasi Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK) Dan Faktor Persekutuan Besar (FPB) Dalam Aljabar Boole : Operasi + digunakan untuk KPK dan Operasi x digunakan untuk FPB Contoh : Carilah KPK dan FPB dari 45 , 48 dan 72 Solusi : Faktor Prima dari 45 adalah 32 x 5 Faktor Prima dari 48 adalah 24 x 3 Faktor Prima dari 72 adalah 23 x 32 Kesimpulan : KPK dari 45 , 48 dan 72 adalah 24 x 32 x 5 = 720 FPB dari 45 , 48 dan 72 adalah 3.

Catatan : Untuk KPK , semua faktor prima yang ada dikalikan , faktor yang sama diambil pangkat tertinggi. Untuk FPB hanya faktor prima yang sama dalam 45 , 48 dan 72 dikalikan , diambil faktor prima dengan pangkat terendah. Contoh : Carilah himpunan Boole untuk D60 ( Bilangan yang dapat membagi 60 ) dan buatlah Diagram Hess. Dari D60 ,a. Untuk KPK dari 5 + 12 adalah 60 b. Untuk FPB dari 5 x 12 adalah 1 c. Untuk Elemen Zero : a + 0 = a ? d. Untuk Elemen Unit : a x 1 = a

10’ = ? , elemen komplemennya a’ + a = unit 10’ + 10 = 60 … + 10 = 60 12 + 10 = 60 60 + 10 = 60 , Jadi 10’ = 12 , karena 12 faktor dari 60.

Terima kasih