D U A L I T A S

DUALITAS Pengertian Dualitas adalah persoalan PL memiliki 2 (dua) macam analisis yang menjadi satu (dua paket menjadi satu), yaitu : Analisis Primal dan Analisis Dual. Analisis dual : sebuah masalah PL yang di-turunkan secara matematis dari satu model PL primal.

Masalah dual dan primal sangat berkaitan erat sehingga pemecahan simpleks optimal dari salah satu masalah akan secara otoma-tis menghasilkan pemecahan optimum untuk masalah lain. Bentuk pertama atau bentuk asli dari suatu model PL adalah bentuk primal dan bentuk keduanya adalah bentuk dual, sehingga suatu solusi terhadap persoalan PL yg asli (primal) juga akan memberikan solusi bentuk dual.

Bentuk Umum (1). Bentuk Primal Fungsi Tujuan : Maksimumkan/Minimumkan Fungsi Pembatas : Xj ≥ 0; i = 1,2,3, . . ., m j = 1,2,3,. . ., n

Minimumkan/Maksimumkan (2). Bentuk Dual Fungsi Tujuan : Minimumkan/Maksimumkan Fungsi Pembatas : Yj ≥ 0; i = 1,2,3, . . ., m j = 1,2,3,. . ., n

KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN MINIMISASI KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN Tabel Primal-Dual PL PRIMAL Koefisien X1 X2 . . . . . . Xn NK Y1 Y2 Y3 . Yn a11 a12 . . . . . . a1n ≤ b1 a21 a22 . . . . . . a2n ≤ b2 a31 a32 . . . . . . a3n ≤ b3 …. …. . . . . . . ….. …… am1 am2 . . . . . . amn ≤ bm KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN MINIMISASI NK ≥ C1 ≥ C2 . . . . . . ≥ Cn KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN MAKSIMISASI DUAL

(masalah primal) Contoh : Tabel primal-dual Merek Mesin I1 I2 Kapasitas Maksimum 1 2 8 3 15 6 5 30 Sumbangan laba Tabel primal-dual Merek Mesin X1 X2 Y1 2 ≤ 8 Y2 3 ≤ 15 Y3 6 5 ≤ 30 ≥ 3 ≥ 5

Fungsi primal-dual Tabel primal-dual Merek Mesin X1 X2 Y1 2 ≤ 8 Y2 3 ≤ 8 Y2 3 ≤ 15 Y3 6 5 ≤ 30 ≥ 3 ≥ 5 Fungsi primal-dual Kunci 1 Tujuan : Maks Z = 3X1 + 5X2 Batasan : 2X1  8 3X2  15 6X1 + 5X2  30 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 Tujuan : Min Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3 Batasan : 2Y1 + 6 Y3 ≥ 3 3Y2 + 5 Y3 ≥ 5 dan Y1 ≥ 0, Y2 ≥ 0, Y3 ≥ 0 Batasan i Variabel i Kunci 2 Fungsi Tujuan Nilai Kanan

Contoh Bentuk Primal : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 5 X2 Fungsi Pembatas : 2X1 ≤ 8 3X2 ≤ 15 6X1+ 5X2 ≤ 30 X1, X2 ≥ 0

Fungsi Tujuan : Minimumkan G =8Y1+15Y2+30Y3 Fungsi Pembatas : Bentuk Dual Fungsi Tujuan : Minimumkan G =8Y1+15Y2+30Y3 Fungsi Pembatas : 2Y1 + 0Y2 + 6Y3 ≥ 3 0Y1 + 3Y2 + 5Y3 ≥ 5 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

Penyelesaian Masalah Primal Model Program Linear Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 15X1 + 10X2 Fungsi Pembatas : 1. Bahan A : X1 + X2 ≤ 600 2. Bahan B : 2X1 + X2 ≤ 1000 X1, X2 ≥ 0

Tabel Simpleks Var Dasar X1 X2 S1 S2 NK Indeks Z -15 -10 - 1 600 2 - 1 600 2 1000 500 Iterasi-1 -5/2 15/2 7500 ½ - ½ 100 200 Iterasi-2 5 8000 -1 400

Penyelesaian Masalah Dual Fungsi Tujuan : Minimumkan G = 600Y1+1000Y2 + MA1 + MA2 Fungsi Pembatas : X1: Y1+2Y2 – S1 + A1 = 15 A1 = 15-Y1-2Y2+S1 X2: Y1+ Y2 – S2 + A2 = 10 A2 = 10-Y1-Y2+S2 Y1,Y2, S1,S2,A1,A2 ≥ 0

G = 600Y1+1000Y2 + MA1 + MA2 = 600(15-Y1-2Y2+S1)+1000(10-Y1- Y2+S2)=(600-2M)Y1+(1000-3M)Y2+ MS1+MS2 + 25M G-(600-2M)Y1 – (1000-3M)Y2 – MS1-MS2 = = 25 M

Tabel Simpleks Dual Var Dasar Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 NK Indeks G -M 25M - 1 25M - 1 2 -1 15 15/2 10 Iterasi-1 -100+ ½ M -500+ ½ M 500-3/2M 7500+5/2M ½ - ½ 5/2 5 Iterasi-2 -400 -200 400-1/2M 200-M 8000 -2

Kesimpulan : Y1=5 dan Y2=5; Gmin=8000.- Contoh 2: Model Program Linear Bentuk Primal : 1. Fungsi Tujuan : (dalam Rp 10.000) Minimumkan Z = 40 X1 + 20 X2 2. Fungsi Pembatas : 3 X1 + X2 ≥ 27 X1 + X2 ≥ 21 X1 + 2 X2 ≥ 30 X1, X2 ≥ 0

Bentuk Dual : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan G = 27 Y1+21 Y2+30 Y3 2. Fungsi Pembatas : 2.1. 3 Y1 + Y2 + Y3 ≤ 40 2.2. Y1 + Y2 + Y3 ≤ 20 Y1, Y2, Y3 ≥ 0 Model Simpleks Dual : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan G – 27Y1 – 21Y2 – 30Y3 – 0S1 – 0S2 = 0

2.1. 3Y1 + Y2 + Y3 + S1 + 0S2 = 40 2.2. Y1 + Y2 + 2Y3 + 0S1 + S2 = 20 2. Fungsi Pembatas : 2.1. 3Y1 + Y2 + Y3 + S1 + 0S2 = 40 2.2. Y1 + Y2 + 2Y3 + 0S1 + S2 = 20 Y1, Y2, Y3, S1, S2 ≥ 0 Tabel Simpleks Dual : Var Dasar Y1 Y2 Y3 S1 S2 NK Indeks Z -27 -21 -30 3 1 40 2 20

Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08 Tabel Simpleks Dual : Var Dasar Y1 Y2 Y3 S1 S2 NK Indeks Z -27 -21 -30 - 3 1 40 2 20 10 Iterasi-1 Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08

Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08 Var Dasar Y1 Y2 Y3 S1 S2 NK Indeks Z -12 -6 15 300 - 5/2 ½ 1 - ½ 30 12 10 20 - 18/5 24/5 63/5 444 1/5 2/5 -1/5 60 3/5 4 Iterasi-2 Iterasi-3 Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08

Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08 Tabel Optimum Simpleks Dual : Var Dasar Y1 Y2 Y3 S1 S2 NK Indeks Z 9 3 18 480 - 1 - ½ ½ 10 5/2 3/2 Iterasi-4 Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08

Interpretasi Tabel Optimum Simpleks Primal 1. Solusi Optimum 2. Keadaan Sumberdaya 3. Sumbangan per unit Sumberdaya 4. Kepekaan (sensitivitas)

(1). Solusi Optimum Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z=15X1+10X2 (Dlm Rp10.000) Fungsi Pembatas : Bahan A : X1 + X2 ≤ 600 Bahan B : 2X1 + X2 ≤ 1000 X1, X2 ≥ 0

Tabel Simpleks Optimum Interpretasi : Produk-1 (X1) = 400 unit dan Produk-2 = 200 unit dengan keuntungan maksimum = Rp 80.000.000.- Var Dasar X1 X2 S1 S2 NK Indeks Z 1 5 8000 2 -1 200 400

(2). Keadaan Sumberdaya a. Sumberdaya langka : sumberdaya yang secara keseluruhan dihabiskan oleh kegiatan-kegiatan dlm model bersang- kutan. Dalam tabel solusi optimum sumberdaya yang langka ditunjukkan oleh nilai slack var = 0 (S=0) b. Sumberdaya berlebihan :sumberdaya yang tidak dipergunakan sepenuhnya

Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08 oleh kegiatan-kegiatan dalam model yg bersangkutan. Dalam tabel solusi opti- mum suberdaya berlimpah ditunjukkan oleh nilai slack var positif (S > 0). Contoh : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Laba Z = 3X1 + 2X2 Fungsi Pembatas : (1). Bahan Mentah A : X1+2X2 ≤ 6 Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08

Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08 (2). Bahan Mentah B : 2X1 + X2 ≤ 8 (3). Kelebihan cat interior : -X1 + X2 ≤ 1 (4). Permintan cat interior : X2 ≤ 1 X1, X2 ≥ 0 Indrawani Sinoem/TRO/V/07-08

Tabel Optimum Simpleks : Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 S4 NK Z 1/3 4/3 12 2/3 1 2/3 -1/3 1 1/3 3 1/3 -1 3 - 2/3

Interpretasi Tabel Optimum Simpleks (Status Sumberdaya) : Slack Variabel Status Sumberdaya 1. Bahan Mentah A S1 = 0 Langka 2. Bahan Mentah B S2 = 0 3. Kelebihan X2 dari X1 S3 = 3 Berlimpah 4. Permintaan X2 S4 = 2/3

(3). Sumbangan per unit sumberdaya Sumbangn per unit sumberdaya adalah peningkatan perbaikan dlm nilai optimum sebagai akibat kenaikan jumlah keterse-diaan sumberdaya tersebut. Informasi sumbangan per unit sumberdaya ditunjuk-kan oleh harga dual dari sumberdaya. Dalam tabel solusi optimum ditunjukkan dari koefisien fungsi tujuan Z di bawah slack variabel (S).

Tabel sumbangan per unit sumberdaya Dari tabel tersebut di atas menunjukkan : Y1 = 1/3 ribu dollar per ton bahan A Y2 = 4/3 ribu dollar per ton bahan B Y3 = 0 Y4 = 0 Z = 12 2/3 – (1/3 S1 + 4/3 S2 + 0S3 + 0S4) Sumbangan per unit sumberdaya (harga dual) tersebut di atas disebut dengan “Harga Bayangan”. Pada tabel tersebut di atas menunjukkan : a. Harga bayangan bahan A = 1/3 ribu dollar per ton. b. Harga bayangan bahan B = 4/3 ribu dollar per ton Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 S4 NK Z 1/3 4/3 12 2/3