EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

Beberapa Aplikasi Ruang Eigen Uji Kestabilan dalam sistem dinamik Optimasi dengan SVD pada pengolahan Citra Sistem Transmisi dan lain-lain. Definisi : Misalkan Anxn matriks adalah matriks bujur sangkar adalah vektor tak nol di Rn dan λ adalah skalar Rill sehingga memenuhi : maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen dari A 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

Contoh : A x λ 5 10 Nilai eigen Vektor eigen 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

Mengingat kembali: perkalian matriks Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula Jawab: v dan Av sejajar w dan Aw sejajar Perkalian vektor dengan matriks hasilny sama dengan perkalian skalar Jika A adalah matriks persegi nxn, x vektor di Rn, maka Ax adalah vektor di Rn. Dalam kasus tertentu, Ax mempunyai interpretasi geometris yang sederhana. Ax nilainya sama dengan hasil kali skalar dengan x. Pada contoh terlihat, Au = u dengan u bukan vektor nol. u disebut vektor eigen untuk A yang bersesuaian dengan nilai eigen . u dan Au TIDAK sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang A? 2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0 Perkalian vektor dengan matriks hasilny sama dengan perkalian skalar Jika A adalah matriks persegi nxn, SPL homogen Ax=0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Tidak ada penyelesaian lain, apa kesimpulanmu tentang A? Jawabannya adalah sbb: A adalah matriks yang mempunyai inverse dan det(A) tidak sama dengan nol 2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Jadi SPL tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawabannya adalah: A tidak mempunyai inverse dan deteminannya sama dengan nol. Jika kamu tidak dapat menjawab pertanyaan tersebut dengan baik, dianjurkan untuk mengulang kembali topik mengenai kaitan determinan dan inverse matriks. Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian vektor dengan matriks x = λ x Ax x x Perkalian vektor dengan matriks hasilny sama dengan perkalian skalar Jika A adalah matriks persegi nxn, x vektor di Rn, maka Ax adalah vektor di Rn. Dalam kasus tertentu, Ax mempunyai interpretasi geometris yang sederhana. Ax nilainya sama dengan hasil kali skalar dengan x. Jika x adalah vektor pada bidang, maka x dan Ax adaklah dua vektor yang sejajar. Ax x dan Ax sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian vektor dengan matriks = 2 = 1 = k Au = 2u Av = v Aw ≠ kw y y y 10 24 2 8 1 4 4 Sebagai contoh, Diberikan matriks A, kemudian dikalikan dengan dua vektor berbeda. Perhatikan hasilnya. Pertama Au = 2u, Av = 2v, Aw bukan kelipatan w. Au dan Av adalah kelipatan sekalar u dan v. Bayangkan jika matriks berukuran besar, akan sangat menguntungkan jika hasil kali vektor dengan matriks dapat dinyatakan sebagai hasil dengan skalar 5 4 x x x Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Definisi: Nilai dan Vektor Eigen Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv. λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ . Syarat perlu: v ≠ 0 Definisi nilai dan vektor eigen Berikut ini adalah definisi formal nilai dan vektor eigen: Jika A adalah matriks persegi n kali n, vektor tak nol u di Rn sedemikian hingga Au = λ u, untuk suatu skalar λ, maka u disebut vektor eigen untuk A yang bersesuaian dengan λ, dan λ disebut nilai eigen dari A. Mengapa disyaratkan x tidak boleh nol? Perhatikan bahwa jka x = 0 maka Ax = λx berlaku untuk matriks persegi A yang manapun dan skalar λ yang manapun. Sehingga tidak ada informasi penting yang dapat kita petik. Ada 4 kemungkinan nilai lambda. (1) λ ≥ 1, Ax searah dan lebih panjang dari x (2) 0 ≤ λ ≤ 1, Ax searah tetapi lebih pendek dari x (3) -1 ≤ λ ≤ 0, Ax berlawanan arah dan lebih pendek dari x (4) λ ≤ - 1, Ax berlawanan arah tetapi lebih panjang dari x (1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Masalah Vektor Eigen A sejajar x x A = λ x x Diberikan matriks persegi A, A sejajar x x A = λ x x Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x). atau Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar λ Diberikan sembarng matriks persegi A. Masalah nilai dan vektor eigen adalah: temukan semua vektor tak nol x sedemikian Ax adalah kelipatan skalar x, atau temukan semua vektor tidak nol x yang memenuhi persamaan Ax = lambda x, untuk suatu skalar lambda. Dari pelajaran yang lalu mengenai SPL homogen, kita tahu bahwa persamaan Ax = lambda x mempunyai penyelesaian tidak nol sama sja dengan mengatakan Persamaan linier homogen (A-lamba I)x = 0 mempunyai penyelesaian tidak nol, dan ini dipenuhi jika dan hanya jika matriks koefisiennya, Yaitu determinan matriks (A- lambda I) = 0. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Masalah Nilai Eigen A x = λ x Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol Diberikan matriks persegi A. A x = λ x x vektor tak nol Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x. atau Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol Diberikan sembarng matriks persegi A. Masalah nilai eigen adalah menemukan semua skalar lambda, sedemikian hingga persamaan Ax = lambda x untuk suatu vektor tak nol x. Dengan kata lain, persamaan Ax = lambda x mempunyai penyelesaian yang tidak nol. Persamaan Ax = λx dapat dinyatakan sebagai persamaan Ax – λx =0 Ax = λx Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Pernyataan-pernyataan ekuivalen Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen  nilai eigen A 2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial) 4.  adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0 Marilah kita ulangi lagi makna dari definisi nilai dan vektor eigen. Jika A matriks persegi nxn, mk kalimat berikut ini mempunyai nilai kebenaran yang sama (ekuivalen) 1. nilai eigen A 2.terdpt vector tak nol x sdmkn hg Ax = x 3.SPL (I –A)x = 0 memp solusi non-trivial 4. adalah penyelesaian persm karakteristik det(I- A) =0 Berdasarkan pernyataan ke empat, mencari nilai eigen sama saja dengan mencari penyelesaian persamaan determinan (A- lambda I) = 0 atau determinan (lambda I –A) = 0. Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det(I-A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Persamaan Karakteristik Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut persamaan karakteristik A λI A-λI - = persamaan karakteristik Ingat dari pelajaran yang lalu bahwa jika v tidak sama I dengan 0 merupakan penyelesaian(A - I)x = 0, maka pasti (A - λ I) tidak mempunyai inverse, atau det(A - λI ) = 0. Persamaan ini disebut persamaan karakteristik. det((A - λ I) merupakan suku banyak dalam λ yang berderajat n. Penyelesaian persamaan ini merupakan nilai-nilai eigen dari A. Jadi, nilai-nilai eigen dari A dapat diperloleh dengan menyelesaiakan persamaan tersebut. Karena suku banyak berderajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian berbeda, maka matriks persegi nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen berbeda. A-λI det = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

NILAI EIGEN Diketahui bahwa <=> Bentuk implisit Difaktorkan

NILAI EIGEN - - - - Jika A adalah matriks maka: sehingga PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

NILAI EIGEN Menurut definisi, vektor eigen adalah vektor tak nol Sehingga agar (x,y) memiliki solusi, maka det(λI-A) = 0  persamaan karakteristik

Contoh 1 Mencari semua nilai eigen A= det 2 - λ = 0 4 1 - λ 2 - λ = 0 4 1 - λ 2 - λ Mencari semua penyelesaian persamaan 4 1 - λ Mencari penyelesaian persamaan karakteristik ( )( ) = 0 2 - λ 1 - λ Diberikan matriks A. tentukan semua nilai eigen dari A. Pertama, bentuklah matrik A-lambda I, dan hitunglah determinannya. Uraikan determinan tersebut ke dalam persamaan karakteristik. Nilai-nilai eigen dari A adalah penyelesaian dari persamaan karakterstik tersebut. Nilai eigen A adalah

SOAL I Carilah nilai eigen dari Gunakan persamaan karakteristik!

Contoh 2: Menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0 Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen Sebagai contoh, marilah kita terapkan prosedur di atas pada matriks berikut ini. Diberikan matriks A. Kita tentukan determinan matriks A – λI. Menyelesaiakn persamaan karakteristik akan menghasilkan 3 nilai eigen yatu 0, 2, 3. Nilai-nilai eigen A: λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 3

Tentukan nilai eigen dari matriks Contoh 3: Tentukan nilai eigen dari matriks Persamaan Karakteristik det (A – λI) = 0 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

Dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-2 (1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0 (1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0 (1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0 Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu : λ = −1, λ = 1, dan λ = 2. 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

SOAL 2 Carilah nilai eigen dari

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Tentukan basis ruang eigen (eigen vector) dari : Contoh : Tentukan basis ruang eigen (eigen vector) dari : 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

Nilai eigen dari A diperoleh saat Jawab : Nilai eigen dari A diperoleh saat   (λ – 2){( λ – 2)2 –1} + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0  (λ – 2){ λ2 – 4 λ + 3} – (λ – 1) – (λ – 1) = 0  (λ – 2){( λ – 3)( λ – 1 )} – 2 (λ – 1) = 0  (λ – 1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0  (λ – 1)( λ2 – 5 λ + 4) = 0  (λ – 1)2( λ – 4) = 0 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

Nilai Eigen dari matriks tersebut adalah 1 dan 4. Untuk λ = 1 Dengan OBE diperoleh maka dimana s, t adalah parameter 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

Jadi Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =1 adalah Ingat bahwa… Vektor eigen merupakan kelipatan dari unsur basis tersebut 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =4 adalah Untuk λ = 4 Dengan OBE diperoleh maka Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =4 adalah 14/09/2018 9:13 MA-1223 Aljabar Linear