PEUBAH ACAK & DISTRIBUSI PELUANG

PENGERTIAN PEUBAH ACAK STATISTIKA  Penarikan kesimpulan tentang (karakteristik dan sifat) populasi. Contoh : Pemeriksaan produk elektronik dengan mengambil 3 produk hasil produksi, dapat dituliskan S =  CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT  C = cacat T = Tidak cacat Bila kita hanya tertarik terhadap berapa produk yang cacat dari 3 produk yang terambil tersebut. Maka nilai numerik 0, 1, 2, atau 3 dapat diberikan pada setiap titik contoh.

Definisi 2.1 Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bil.real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Variabel random (peubah acak) dilambangkan menggunakan huruf kapital. Misal X, Y,dst dan huruf kecil x, y, dst untuk menyatakan salah satu diantara nilai-nilainya.

Contoh : Dua kelereng diambil berturut-turut tanpa pemulihan dari sebuah kantung yang berisi 4 kelereng merah dan 3 kelereng hitam. Hasil-hasil percobaan yang mungkin berikut nilai y bagi var random Y, yang menyatakan banyaknya kelereng merah yang terambil adalah : Ruang ContohY MM2 MH1 HM1 HH0

 Dua Contoh kasus tsb memiliki ruang contoh yang jumlah unsurnya terhingga. Kasus lain : sebuah dadu dilempar sampai bilangan 5 muncul. Ruang contohnya : S  M, TM, TTM, TTTM,  M = muncul T = Tidak Muncul  Banyaknya unsur dalam ruang contoh dapat disamakan dengan banyaknya bilangan bulat Shg terdapat unsur pertama, kedua, ketiga, dst, jadi dapat dicacah. Definisi Ruang Contoh Diskret Jika ruang sampel mengandung sejumlah kemungkinan tertentu atau urutan tanpa akhir sebanyak elemen yang ada pada bilangan, itu disebut ruang sampel diskrit.

Hasil suatu percobaan mungkin saja tak terhingga atau tak terhitung. Contoh : Penelitian mengenai jarak yang ditempuh bila suatu mobil merek tertentu digunakan pada jalan tertentu dengan 5 liter bensin. Jarak sebagai suatu peubah yang diukur dengan derajat ketelitian tertentu. Hasilnya ruang sampel : kemungkinan jarak yang ditempuh tak terhingga banyaknya. Definisi Ruang contoh kontinyu Jika ruang sampel mengandung jumlah kemungkinan tak terbatas yang sama dengan jumlah titik pada segmen garis, itu disebut ruang sampel kontinu  Pada dunia nyata, Variabel random kontinyu merupakan data yang diukur seperti Tinggi, berat, temperatur, jarak, jangka waktu. Sedangkan variabel random diskret menggambar data hasil cacahan seperti data cacat, banyaknya korban, dsb.

DISTRIBUSI PELUANG DISKRET Variabel random diskret setiap nilainya dikaitkan dengan peluang tertentu. Contoh : percobaan pelemparan uang logam sebanyak 3 kali. S =  GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA  X = banyaknya sisi gambar Maka kita sering mengaitkan x = 2 dengan P(x=2) = 3/8 karena 3 diantara 8 titik contoh menghasilkan kemungkinan 2 sisi gambar dan 1 sisi angka. X0123 P(X=x)1/83/8 1/8

Definisi 2.4 Himpunan pasangan terurut [x, f(x)] merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret x bila, untuk setiap kemungkinan hasil x 1. f(x) ≥ 0 2. ∑ f(x) = 1 3. P(X=x) = f(x)  Sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu variabel random diskret berikut peluangnya.

contoh Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat. Jawab : Misal X = peubah acak dengan nilai x semua kemungkinan banyaknya komputer cacat yg dibeli sekolah tersebut = 0,1,2

Distribusi peluang X Seringkali menggambarkan distribusi peluang digunakan histogram peluang. x012 f (x)10/2815/283/28

DISTRIBUSI PELUANG KONTINYU Peluang peubah acak kontinyu tepat pada suatu nilai = 0, sehingga distribusi peluangnya tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel. Ilustrasi : Misal : Peubah acak yang menyatakan tinggi badan semua orang yang berusia 21 th, antara dua nilai sembarang (misalnya 163 cm dan 165 cm). Terdapat tak terhingga banyaknya tinggi  Peluang secara acak orang yang tingginya tepat 164 cm sangat kecil  0  Tetapi akan berbeda jika kita membicarakan peluang terambilnya seseorang yang tingginya sekurang-kurangnya 163 cm tetapi tidak lebih dari 164 cm.Selang nilai variabel acak.

Maka peluang peubah acak kontinyu dihitung untuk berbagai selang seperti P(a c), dsb.. Perhatikan bahwa bila X kontinyu P(a<X≤b) =P(a < X < b) + P(X = b) = P(a < X < b)  tidak menjadi soal apakah titik ujung selang diikutsertakan atau tidak.  Meskipun Dist.peluang peubah acak kontinyu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, ttp dapat disajikan dalam bentuk rumus f(x)  fungsi padat peluang.  Fungsi f disebut fungsi padat peluang bagi peubah acak kontinyu X bila luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1, dan bila luas daerah di bawah kurva antara x = a dan x = b menyatakan peluang X terletak antara a dan b.

Contoh bentuk fungsi padat peluang :

Definisi 2.6 Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinyu X, yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila 1. f(x) ≥ 0 untuk semua X  R P(a<x<b) =

Contoh Misalkan bahwa galat suhu reaksi dalam oC, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang. F(x)= 0, untuk x lainnya a. Tunjukkan bahwa syarat 2 Definisi 2.6 dipenuhi b. Hitung P(0 < x ≤ 1)

jawab