Oleh : Husni Thamrin NIM : A2C014004 Bagian 2.1. Sifat Aljabar R Oleh : Husni Thamrin NIM : A2C014004

Pada bagan ini kita akan mendiskusikan “Struktur Aljabar” dari sistem bilangan real. Ini dilakukan pertama kali dengan memberikan daftar dari sifat dasar penjumlahan dan perkalian. Daftar ini memasukkan seluruh sifat aljabar R yang penting dalam artian bahwa seluruh sifat dapat di tarik kesimpulan berupa teorema. Dalam terminologi dari aljabar abstrak sistem dari bilangan real adalah bidang dengan penjumlahan dan perkalian. Sifat ini sifat yang ada 2.1.1 di kenal sebagai aksioma

sebagai ganti penggunaan notasi B (a,b) kita menggunakan notasi konvensional dari a + b dan a ∙ b (atau ab)

2.1.1 Sifat Aljabar R (A1) a + b = b + a, untuk semua a , b anggota R ( sifat komutatif penjumlahan) (A2) (a + b) + c = a + (b + c), untuk semua a,b,c anggota R (sifat assosiatif penjumlahan) (A3) ada elemen 0 dalam R , 0 + a = a dan a + 0 = a, untuk semua a dalam R (ada elemen nol) (A4) untuk setiap a dalam R ada sebuah elemen –a dalam R a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0 (ada elemen negatif) (M1) a ∙ b = b ∙ a untuk semua a,b anggota R (sifat komutatif perkalian) (M2) (a ∙b) ∙c = a ∙ (b ∙c) untuk semua a,b,c anggota R (sifat assosiatif perkalian) (M3) ada elemen 1 dalam R berbeda dari 0 1 ∙a = a dan a ∙1 = a untuk setiap a anggota R (ada elemen unit) (M4) untuk setiap a ≠ 0 dalam R ada elemen a ∙(1/a) = 1 dan (1/a) ∙a = 1 ( ada invers) (D) a ∙(b+c) = (a ∙b) + (a ∙c) dan (b+c) ∙a = (b ∙a) + (c ∙a), untuk semua a,b,c anggota R (sifat distributif perkalian dan penjumlahan)

2.1.2 Teorema . (a) jika z dan a adalah elemen dari R jadi z + a = a dan z = 0 (b) jika u dan b ≠ 0 ada elemen dari R untuk setiap u . b = b, dan u = 1

Bukti: (a) kita anggap z + a =a , kita tambahkan element –a, yang diberikan dalam (A4) untuk kedua sisi. Kemudian menggunakan (A4) (A2) (A4) dan (A3) kita memperoleh 0 = a + (-a) = (z + a) + (-a) = z + (a + (-a) = z + 0 = z

2.1.4 Teorema. a, b merupakan bagian perubahan dari R kemudian : (a) persamaan a+x =b memiliki solusi unik x = (-a)+b : (b) jika a≠0, persamaan a ∙x = b memiliki solusi unik x = (1/a) ∙b.

Bukti: a + ((-a)+b) = (a+(-a)) + b = 0 +b sifat (A2) Bukti: a + ((-a)+b) = (a+(-a)) + b = 0 +b sifat (A2). (A4),(A3) jika x = (-a) + b adalah solusi dari persamaan a + x =b . untuk menetapkan itu hanya solusi menggap x1 adalah solusi dari persamaan ini: kemudian a + x =b jika kita mendapat (-a) + ( a + x1) = (-a) + (b) Gunakan (A3),( A4) dan (A2) untuk mendapatkan x1 = 0 + x1 = (-a + a ) + x1 = (-a) + (a + x1) = (-a) + b Oleh karena ini x1 = (-a) + b

2. 1. 5 Teorema. jika a adalah banyak bagian dari R ; a. a ∙0 = 0 b 2.1.5 Teorema . jika a adalah banyak bagian dari R ; a. a ∙0 = 0 b. (-1) ∙a = -a c. – (-a) = a d. (-1) ∙(-1) = 1

Bukti : (a) dari (M3) kita ketahui bahwa a ∙1 = a kemudian (D) dan (A3) memberikan a + a ∙0 = a ∙1 + a ∙0 = a ∙(1 + 0) = a ∙ 1 = a Sejak 0 adalah unik dengan teorema 2.1.2 (a) kita menyimpulkan bahwa a ∙0=0 b) kita menggunakan (D) berkaitan dengan (M3) (A4) untuk memperoleh a + (-1) ∙a = 1 ∙a + (-1) ∙a = (1+(-1) ∙a =0 ∙a = 0 Oleh karena itu dari teorema 2.1.3 (a) kita menyimpulkan bahwa (-1) ∙a = -a ( c ) Dengan (A4) kita memiliki (-a)+a =0 menurut pernyataan yang unik dari teorema 2.1.3(a) itu menyatakan bahwa a = -(-a) (d) pada bagian (b) , a= -1 kemudian (-1) ∙(-1) = -(-1)

2.1.6 Teorema a,b,c bagian dari R (a) jika a≠0, maka 1/a ≠ 0 dan 1/(1/a)=a (b) jika a ∙b = a ∙c dan a ≠ 0, serta b = c (c) jika a ∙b = 0, kemudian a = 0 atau b = 0

Bukti: kita diberikan a ≠ 0 sehingga 1/a ada. Jika 1/a =0 kemudian 1 = a ∙(1/a)= a ∙0 = 0, kebalikan dari (M3). Oleh karena itu 1/a ≠0 dan sejak (1/a) ∙a=1, dari teorema 2.1.3(b) implikasi 1/(1/a)=a (b) jika kita mengalihkan kedua sisi dari pasangan a ∙b=a ∙c dengan 1/a dan menerapkan sifat asosiatif (M2) kita mendapatkan ((1/a) ∙a) ∙b = ((1/a) ∙a) ∙c Oleh karena itu 1 ∙b = 1 ∙c yang mana sama sebagai b=c (c) itu cukup untuk menganggap a≠0 dan menyimpulkan b=0 (mengapa) sejak a ∙ b =0 = a ∙ 0 kita menerapkan bagian b dengan persamaan (b) a ∙ b = a ∙ 0 untuk menyimpulkan bahwa b = 0 jika a≠0.

Bilangan Rasional Bagian R dapat ditulis dalam bentuk b/a dimana a,bZ dan a ≠0 disebut bilangan rasional seluruh bilangan rasional dalam R akan ditunjukkan dengan notasi standar Q. soal dan produk dari dua bilangan rasional adalah bilangan rasional lagi. (buktikan ini) selain itu sifat yang tercantum pada awal ini yang ditujukkan pada O

Kenyataan bahwa ada bagian dari R yang tidak dalam Q adalah tidak jelas . pada abad enam b.c phytagoras yunani kuno menemukan bahwa diagonal dari kuadrat dengan sisi unik tidak dapat diungkapkan sebagai rasio dari bilangan bulat utuh. Dalam pandangan teorema phytagoras untuk segitiga, ini menyatakan bahwa kuadrat dari bilangan rasional dapat sama dua. Salah satu konsekuensi bagian R yang bukan dalam Q menjadi terkenal dengan nama bilangan irasional. Meskipun terminologi ini tidak menguntungkan itu sangat standar dan menggunakannya. Kita menutup bagian ini dengan bukti yang nyata bahwa tidak ada bilangan rasional yang mana kuadrat adalah 2.

2.1.7 Teorema . tidak ada bilangan rasional R r2=2 Bukti : kebalikannya p dan q adalah bilangan bulat utuh (p/q)2= 2 itu mungkin dianggap bahwa p dan q tidak memiliki akar bilangan bulat utuh dari pada 1 (mengapa) sejak p2= 2q2, kita melihat p2 adalah genap. Ini menyatakan bahwa p adalah genap (jika p = 2k + 1 ganjil, kemudian p2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) + 1 adalah ganjil) oleh karena itu q harus menjadi bilangan bulat utuh ganjil. Akan tetapi, p = 2m untuk beberapa bilangan bulat utuh m karena p adalah genap dan 4m2 = 2q2 sehingga 2m2 = q2. Seperti di atas itu mengikuti bahwa q adalah bilangan bulat utuh genap, dan kita memiliki kontradiksi pada kenyataan bahwa tidak ada bilangan bulat utuh baik itu genp dan ganjil

TERIMA KASIH