Pertemuan 7 Geometri Projektif

Pengkajian tentang Garis di Tak Berhingga Sasaran Pengkajian tentang Garis di Tak Berhingga

Pokok Bahasan Garis di Tak Berhingga

Arti Geometri Projektif Geometri projektif adalah geometri yang mempelajari sifat-sifat dari konfigurasi geometri yang tidak mengalami perubahan bila konfigurasi geometri tersebut diprojeksikan.

Arti Geometri Projektif (lanjutan) Sebagai contoh, pengertian panjang, luas, volume jelas mengalami perubahan bila diproyeksikan, sehingga pengertian tersebut tidak dibicarakan dalam Geometri Projektif. Sedangkan pengertian titik terletak pada garis dan garis terletak pada bidang dibicarakan dalam Geometri Projektif.

Inspirasi Geometri Projektif Focal Plane O Pin Hole P A Object

Catatan Diberikan titik O dan bidang A. Titik P dalam 3 dimensi dibawa ke titik P’ yang merupakan titik potong OP dengan A.Setiap titik pada garis OP dibawa ke P’. Jadi garis-garis lewat O yang tidak sejajar dengan A diidentifikasi dengan titik-titik pada bidang A. Bidang A diperluas sampai memuat garis di tak berhingga yang berkorespondensi dengan garis-garis yang sejajar dengan A. Bidang A bersama dengan garis di tak berhingga disebut bidang projektif dan ditulis P2.

Teorema Pappus Teorema 6.1 Misalkan P1, P2, P3 tiga titik pada garis g1 dan Q1, Q2, Q3 tiga titik pada garis g2. Misalkan R perpotongan P2Q3 dan P3Q2, S perpotongan P1Q3 dan P3Q1, dan T perpotongan P1Q2 dan P2Q1. Maka R, S, T kolinier (terletak pada satu garis)

Gambar Teorema 6.1 P1 P2 P3 T S R Q3 Q2 Q1

Bukti Teorema 6.1 (Garis besar) Misalkan g1’ dan g2’ berpotongan di U. Misalkan kita bekerja di A’ sebagai bidang Euklid, yang pengertian jaraknya eksis. Karena P2’Q3’ dan P3’Q2’ sejajar, maka |UP2’| / |UQ3’| = |UP3’| / |UQ2’|. Karena P1’Q3’ dan P3’Q1’ juga sejajar, maka |UP1’| / |UQ3’| = |UP3’| / |UQ1’|. Menggabungkan dua hasil tersebut, didapat |UP1’| / |UQ2’| = |UP2’| / |UQ1’|, yang berarti P1’Q2’ dan P2’Q1’ sejajar. Jadi T’ pada garis di tak berhingga.

Gambar untuk Bukti Teorema 6.1 P’3 U P’1 P’2 Q’3 Q’2 Q’1