Pemodelan dan Formulasi Oleh: Swaditya Rizki, M.Sc.

Aplikasi 1

Tanah seluas 10. 000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m2 dan dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ….

Penyelesaian Misal; X = Jumlah rumah Tipe A yang akan dibangun (unit) Y = Jumlah rumah Tipe B yang akan dibangun (unit) Objektif Maks = 6.000.000X + 4.000.000Y Kendala: 100X + 75Y ≤ 10.000 (luas Tanah) X + Y ≤ 125 (Banyak Unit)

Aplikasi 2

Luas daerah parkir 1.760 m2 digunakan untuk parkir mobil kecil dengan ukuran rata – rata 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum area parkir hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….

Penyelesaian Misal: X = Jumlah mobil kecil yang parkir (unit) Y = Jumlah mobil bus yang parkir (unit) Objektif: Maks = 1000X + 2000Y Kendala: 4X + 20Y ≤ 1760 (luas area) X + Y ≤ 200 (daya tampung) X,Y ≥ 0

Aplikasi 3

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp. 9.200,00/kg dan pisang Rp. 7.000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah ….

Penyelesaian Misal M = Jumlah mangga yang dijual (buah) P = Jumlah pisang yang dijual (buah) Objektif Maks = 1200M + 1000P Kendala: 8000M + 6000P ≤ 1.200.000 (modal) M + P ≤ 180 (Kapasitas) M, P ≥ 0

Aplikasi 4

Menjelang hari raya Idul Adha Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Lampung berturut – turut Rp. 9.000.000,00 dan Rp. 8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp. 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut turut Rp. 10.300.000,00 dan Rp. 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli adalah ….

Penyelesaian Misal: S = Jumlah Sapi yang akan dijual (ekor) K = Jumlah Kerbau yang akan dijual (ekor) Objektif maks = 1.300.000S + 1.200.000K Kendala: 9.000.000S + 8.000.000K ≤ 124.000.000 (modal) 9S + 8K ≤ 124 S + K ≤ 15 (daya tampung kandang) S, K ≥ 0

Aplikasi 5

Nyonya Fetty menjalani program diet khusus, dalam diet tsb dia mensyaratkan bahwa setiap makanan yang harus dikonsumsinya adalah kue cokelat, es krim, dan keju. Setiap 100 gr kue cokelat harganya Rp.5000, setiap 100 gr es krim harganya Rp 2000 dan setiap 100 gr keju Rp 8000.

Setiap hari nyonya Fetty harus mengkonsumsi paling sedikit 500 kalori, 60 gr cokelat, 10 gr gula dan 8 gr lemak.

Informasi tentang kandungan nutrisi diberikan dalam tabel berikut SUMBER MAKANAN KALORI (kal) COKELAT (gr) GULA LEMAK KUE COKELAT 400 30 20 ES KRIM 200 40 KEJU 500 50

Modelkanlah masalah ini agar biaya yang dikeluarkan nyonya Fetty minimum tetapi kandungan nutrisinya terpenuhi.

Penyelesaian Objektif: Min = 50X1 + 20X2 + 80X3 Misal: X1 = Jumlah (gr) kue cokelat yang dikonsumsi Fetty perhari X2 = Jumlah (gr) Es krim yang dikonsumsi Fetty perhari X3 = Jumlah (gr) Keju yang dikonsumsi Fetty perhari Objektif: Min = 50X1 + 20X2 + 80X3

Kendala: 400X1 + 200X2 + 500X3 ≥ 500 (Kalori) 30X1 +20X2 ≥ 60 (Cokelat) 20X1 + 20X2 + 40X3 ≥ 10 (Gula) 20X1 + 40X2 + 50X3 ≥ 8 (Lemak) Peubah non negatif: X1 , X2 , X3 ≥ 0

Aplikasi 5

PT “AgroLand” berencana membuka 2 lahan yang dimilikinya masing- masing seluas 1000 Hektar untuk ditanami jagung dan tomat organik. Karena lahan-lahan tersebut berada pada lokasi yang berbeda, maka perlakuan pada tanaman dan hasil yang didapat juga berbeda

Informasi tentang biaya operasional pada masing-masing lahan sebagai berikut: TEMPAT ONGKOS & HASIL LAHAN 1 LAHAN 2 ONGKOS JAGUNG/Ha Rp 100.000 Rp 120.000 ONGKOS TOMAT / Ha Rp 90.000 Rp 80.000 HASIL JAGUNG / Ha 1500 kg 1650 kg HASIL TOMAT / Ha 1400 kg 1350 kg

Lanjutan… Tiap minggu PT “AgroLand” mendapat pesanan 80 ton jagung dan 70 ton tomat. Modelkanlah masalah ini untuk meminimalkan biaya operasional tetapi kebutuhan pasar terpenuhi.

Penyelesaian Misal: J1 = Jumlah lahan 1 (Ha) yang ditanamai jagung. T1 = Jumlah lahan 1 (Ha) yang ditanamai tomat. J2 = Jumlah lahan 2 (Ha) yang ditanamai jagung. T2 = Jumlah lahan 2 (Ha) yang ditanamai tomat. Objektif: Min = 100J1 + 120J2 + 90T1 + 80T2 (dalam Rp 1000)

Kendala Kendala Pemesanan: 1500J1 + 1650J2 ≥ 80000 1400T1 + 1350T2 ≥ 70000 Kendala Lahan J1 + T1 ≤ 1000 J2 + T2 ≤ 1000 Peubah non negatif J1, J2, T1, T2 ≥ 0

Aplikasi 6

Pengusaha tapis lampung memproduksi 2 jenis motif tapis yaitu perahu gajah dan kaligrafi. Untuk memproduksi tapis-tapis tersebut diperlukan waktu untuk penyulaman dan finishing (merapihkan tapis yang telah disulam dari benang-benang yang belum rapi). Sebuah tapis perahu gajah membutuhkan waktu 5 jam untuk penyulaman dan 2 jam untuk finishing, sedangkan tapis kaligrafi membutuhkan waktu 5,5 jam untuk penyulaman dan 2 jam untuk finishing. Sebuah tapis perahu gajah dijual dengan harga Rp 225.000 dan membutuhkan ongkos pekerja sebesar Rp 35.000, sedangkan sebuah tapis kaligrafi dijual dengan harga Rp 275.000 dan membutuhkan ongkos pekerja Rp 36.000.

Tiap tapis perahu gajah memerlukan 1 meter kain tapis dan 3 gelondong benang emas, sedangkan tiap tapis kaligrafi 1,15 meter kain tapis dan 4,5 gelondong benang emas. Saat ini diperusahaan tersebut tersedia 100 meter kain tapis dan 250 gelondong benang emas, serta jam kerja yang tersedia adalah 450 jam untuk penyulaman dan 325 jam untuk finishing. Selain itu pengusaha tapis tersebut mendapatkan pesanan minimal sebanyak 40 buah tapis dengan persyaratan jumlah tapis kaligrafi tidak kurang dari 20 buah. Formulasikan masalah ini untuk memaksimalkan keuntungan.

Penyelesaian: Diketahui: Tapis P.Gajah Tapis Kaligrafi Ketersediaan Waktu penyulaman 5 jam 5,5 jam 450 jam Waktu finishing 2 jam 325 jam Harga jual 225.000 275.000 Ongkos pekerja 35.000 36.000 Kain tapis 1 meter 1,15 meter 100 meter Benang emas 3 gelondong 4,5 gelondong 250 gelondong Pesanan ≥0 ≥ 20 ≥40

Misal: X = jumlah tapis perahu gajah yang diproduksi (buah/helai) Y = jumlah tapis kaligrafi yang diproduksi (buah/helai) Objektif Maks Z= (225.000-35.000)X + (275.000-36.000)Y = 190.000X + 239.000Y Kendala: Kendala waktu yang tersedia - waktu penyulaman: 5X + 5,5Y ≤ 450 - waktu finishing: 2X + 2Y ≤325

Kendala bahan yang tersedia Kain: X + 1,15Y ≤ 100 (dalam meter) Benang: 3X + 4,5Y ≤ 250 (dlm gelondong) Kendala pemesanan X + Y ≥ 40 X+20 ≥ 40 X ≥ 20 X ≥ 0 Y ≥ 20

Aplikasi 7

Sebuah perusahaan tekstil mempunyai 2 buah pabrik, 2 buah sumber pemasokan bahan mentah, dan 3 buah pasar yang menjual hasil produksi. Ongkos transportasi dari sumber bahan mentah ke parbik dan dari pabrik ke tempat pemasaran diberikan dalam tabel 1 dan 2 sbb: Pabrik Sumber Pabrik A Pabrik B Sumber 1 Rp 100.000/Ton Rp 150.000/Ton Sumber 2 Rp 200.000/Ton

Pasar Pabrik Pasar 1 Pasar 2 Pasar 3 Pabrik A Rp 400.000/ton Rp 200.000/ton Rp 100.000/ton Pabrik B Rp 300.000/ton 10 ton tersedia dari sumber 1 dan 15 ton dari sumber 2. Tiga tempat pemasaran membutuhkan masing-masing 8, 14, dan 3 ton. Formulasikan masalah ini untuk meminimalkan ongkos pengangkutan

Penyelesaian Misal: Xij = jumlah (ton) bahan mentah dari sumber i ke pabrik j. i = 1, 2. j = A, B Yjk = jumlah (ton) hasil produksi yang diangkut dari pabrik j ke pasar k. j = A, B. k = 1, 2, 3. Objektif Min Z = 100X1A + 150X1B + 200X2A + 150X2B + 400YA1 + 200YA2 + 100YA3 + 300YB1 + 400YB2 + 200YB3 (dalam ribu)

Kendala Kendala Bahan yang Tersedia X1A + X1B ≤ 10 (dalam ton) Kendala Pasar YA1 + YB1 ≥ 8 (dalam ton) YA2 + YB2 ≥ 14 YA3 + YB3 ≥ 3 Kendala non negatif Xij, Yjk ≥ 0 i= 1,2. j= A,B. K= 1,2,3

Many Thanks For Your Attention