GT2002 DASAR DASAR GEODESI FISIK PERTEMUAN KE-3 SATRIO MUHAMMAD ALIF, S.T., M.T. 2018

MATERI Relasi Orthogonalitas, Fully normalized spherical harmonics, dan Integral Poisson

MATERI PERTEMUAN SELANJUTNYA Gaya Berat dan Potensial Gaya Berat

RELASI ORTOGONALITAS (1) Pada dasarnya sebarang fungsi f(,) yang terdefinisi pada permukaan bola dapat diuraikan pada deret harmonik bola sbb : dengan DASL – 2012

RELASI ORTOGONALITAS (2) Dua fungsi berbeda dari Rnm atau Snm Untuk s  n dan atau r  m Untuk semua kasus dalam hal ini Dua fungsi sama dari Rnm atau Snm Untuk m = 0 Untuk m  0 DASL – 2012

RELASI ORTOGONALITAS (3) Penentuan koefisien anm dan bnm Koefisien anm dan bnm ditentukan dengan mengalikan ruas kanan dan ruas kiri dari persamaan dengan Rsr(,), dan selanjutnya diintegralkan untuk seluruh permukaan bola satuan Untuk r = 0 Untuk r  0 DASL – 2012

RELASI ORTOGONALITAS (4) Laplace spherical harmonics Yn(,) dapat pula ditentukan dari dengan KU ’   = spherical distance Q  P ’ -  DASL – 2012

HARMONIK BOLA : FULLY NORMALIZED (1) Apabila Sehingga ( terkait dengan hubungan ortogonalitas ) Bentuk ekspansi f(,) dalam bentuk uraian deret fully normalized harmonics adalah : Dimana DASL – 2012

HARMONIK BOLA : FULLY NORMALIZED (2) Hubungan antara koefisien fully normalized harmonic dengan conventional harmonic DASL – 2012

BOUNDARY VALUE PROBLEM DALAM TEORI POTENSIAL (1) Terdapat tiga tipe boundary value problem (BVP) dalam teori potensial First Boundary Value Problem : Dirichlet Problem Diberikan sebarang fungsi f() pada permukaan S untuk menentukan fungsi V(r) yang bersifat harmonik di luar dan di dalam S (  memenuhi persamaan Laplace) dan mengasumsikan nilai fungsi f() terletak pada permukaan S DASL – 2012

BOUNDARY VALUE PROBLEM DALAM TEORI POTENSIAL (2) Second Boundary Value Problem : Neumann Problem Diberikan turunan normal ( arah ke luar ) V/n pada permukaan S dimana n mengarah ke luar dari bidang normal permukaan pada S Third Boundary Value Problem Diberikan suatu kombinasi linier dari V dan turunan normalnya pada permukaan S dimana h dan k adalah konstanta DASL – 2012

Exterior BVP Interior BVP BOUNDARY VALUE PROBLEM DALAM TEORI POTENSIAL (3) formulasi BVP eksterior permukaan S Exterior BVP interior permukaan S Interior BVP BVP teori potensial Fungsi diskripsi permukaan S() BVP geodetik nilai diketahui nilai tidak diketahui (umum) Free Geodetic BVP perkecualian  nilai diketahui Fix Geodetic BVP problem mudah dipecahkan jika boundary surface adalah bola DASL – 2012

SOLUSI PROBLEM DIRICHLET DALAM HARMONIK BOLA : INTEGRAL POISSON (1) Solusi Problem Nilai Batas Pertama pada teori potensial (First Boundary Value Problem) atau Problem Dirichlet adalah “ Diberikan sebarang fungsi di permukaan S untuk menentukan sebuah fungsi V yang harmonik baik di dalam S maupun di luar S “ Bila permukaan S adalah sebuah bola, maka Dirichlet Problem dapat dipecahkan menggunakan harmonik bola Solusi untuk bola dengan jari-jari satuan (r = 1) V di permukaan bola V internal terhadap S V eksternal terhadap S DASL – 2012

SOLUSI PROBLEM DIRICHLET DALAM HARMONIK BOLA : INTEGRAL POISSON (2a) Solusi untuk bola dengan jari-jari satuan (r = R) dengan Untuk r < R Untuk r > R DASL – 2012

SOLUSI PROBLEM DIRICHLET DALAM HARMONIK BOLA : INTEGRAL POISSON (2b) Untuk r > R Bila Maka DASL – 2012

SOLUSI PROBLEM DIRICHLET DALAM HARMONIK BOLA : INTEGRAL POISSON (3) Solusi lainnya diperoleh dari (  ) (   ) Substitusi persamaan ( ) ke (), akan memperoleh atau DASL – 2012

SOLUSI PROBLEM DIRICHLET DALAM HARMONIK BOLA : INTEGRAL POISSON (4) Bila jarak antara titik (r,,) dan (R,’,’) adalah maka diperoleh dan diferensiasinya adalah atau Maka diperoleh solusi berupa Integral Poisson (representasi spasial) DASL – 2012

FUNGSI HARMONIK (1) Sebarang fungsi harmonik ( dalam solusi problem dirichlet ) Dalam hal ini, nilai Anm dan Bnm mempunyai satuan potensial Ditransformasikan menjadi Cnm dan Snm yang tidak memiliki dimensi Diperoleh DASL – 2012

FUNGSI HARMONIK (2) Apabila digunakan fully normalized spherical harmonics dimana Untuk m = 0 Untuk m  0 Diperoleh DASL – 2012

SEKIAN ありがとうございます