D.Menggunakan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu fungsi dan Pemecahan Masalah Persamaan Garis Singgung pada Kurva Fungsi Naik dan Fungsi Turun H O M E Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Persamaan Garis singgung Pada Kurva Sebelum menentukan persamaan garis singgung pada kurva terlebih dahulu kita harus tahu bahwa turunan pertama merupakan gradien garis singgung di titik (x,y). Persamaan garis singgung pada kurva dapat dibagi 3 kasus yaitu : 1.Persamaan garis singgung dititik (X1,y1) pada kurva Rumus persamaan garis yang menyinggung kurva y = f (x) di titik (X1,y1) adalah : contoh nex Hsc Dengan gradien

Langkah pertama adalah kita menentukan terlebih dahulu gradiennya Contoh : Tentukan persamaan garis singgung yang menyinggung kurva y = x2 + x – 5 di titik (2,1). Solusi : Langkah pertama adalah kita menentukan terlebih dahulu gradiennya Ingat m = f ‘ (x1),sehingga : F ‘(x) = 2x + 1, f ‘(x1)=2x1 + 1 F ‘(2) = 2.2 + 1 = 5,m = f ‘(2) = 5 Jadi m = 5 Persamaan garis yang melalui titik (2,1) dengan m = 5 adalah Y – y1 = m (x – x1) Y – 1 = 5 (x – 2) Y = 5x – 9 Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 5x - 9 HS

contoh Nex Back 2.Persamaan Garis singgung Bergradien m langkah untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva jika diketahui gradien dan persamaan kurvanya saja adalah dengan menentukan titik singgung pada kurvanya,dengan mengingat bahwa : Kemudian kita subtitusikan nilai m untuk menperoleh X1 dan setelah itu kita subtitusikan ke persamaan awal untuk menentukan y1,maka didapatlah titik singgungnya (x1,y1). contoh Nex Back

tentukan persamaan garis yang bergradien 2 dan menyinggung kurva contoh : tentukan persamaan garis yang bergradien 2 dan menyinggung kurva y = x2 + 4x + 3. Solusi : Mencari titik singgung y = x2 + 4x + 3 F ‘(x1) = 2x1 + 4,karena m = f ‘(x1) maka : m = 2x1 + 4,dimana m = 2 sehingga 2 = 2x1 + 4, x1 = -1 Y1 = x21 + 4x1 + 3 Y1 = (-1)2 + 4 (-1) +3 Y1 = 0,didapatlah titik singgungnya adalah (x1,y1) = (-1,0) Persamaan garis yng melalui titik (-1,0) dengan m = 2 adalah Y – y1 = m (x – x1) Y – 0 = 2 (x –(-1)) Y = 2x + 2 Jadi persamaan garisnya adalah y = 2x + 2 HS

Dalam materi ini kita banyak menemui istilah-istilah dua garis sejajar dan dua garis tegak lurus. a.Dua garis sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika memiliki gradien yang sama (Mg = Mh). g h Nex Back Contoh g sejajar h (g//h)

Karena garis singgung sejajar dengan garis y = 3x + 5 maka m1 = m2. Contoh : Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis y = 3x + 5 dan menyinggung kurva y = x2 – x + 4. Solusi : Karena garis singgung sejajar dengan garis y = 3x + 5 maka m1 = m2. Gradien garis y = 3x + 5 adalah m1 = 3 karena sejajar maka m2 = 3. Menentukan titik singgungnya m = f ‘(x1) , f ‘(x) = 2x -1 f ‘(x1) = 2x1 – 1 , 3 = 2x1 -1 ,x1 = 2 subtitusikan x1 = 2 ke fungsi y = x2 – x + 4 untuk mencari nilai y1 y1 = (2)2 -2 + 4 = 6,jadi titik singgungnya adalah (2,6) persamaan garisnya adalah y-y1 =m(x-x1) y = 3x jadi persamaan garisnya adalah y =3x HS

b.Dua garis saling tegak lurus Garis g dan h dikatakan tegak lurus jika dan hanya jika mg.mh = -1 h Contoh Nex Back g tegak lurus h (g±h)

Karena garis singgung tegak lurus dengan garis Contoh : Tentukan persamaan garis yang tgak lurus dengan garis y = 3x + 5 dan menyinggung kurva y = x2 – x + 4. Solusi : Karena garis singgung tegak lurus dengan garis y = 3x + 5 maka m1 m2 = -1 Gradien garis y = 3x + 5 adalah m1 = 3 karena tegak lurus maka m2 = -1/3. Menentukan titik singgungnya m = f ‘(x1) , f ‘(x) = 2x -1 f ‘(x1) = 2x1 – 1 , -1/3 = 2x1 -1 ,x1 = 1/3 subtitusikan x1 = 1/3 ke fungsi y = x2 – x + 4 untuk mencari nilai y1 y1 = (1/3)2 -1/3 + 4 = 34/9,jadi titik singgungnya adalah (1/3,34/9) persamaan garisnya adalah y-y1 =m(x-x1) 9y = 35 – 3x jadi persamaan garisnya adalah 9y = 35 - 3x HS

Contoh Back Hsc 3.Garis Singgung melalui titik (x1,y1) diluar kurva untuk menentukan persamaan garis singgung,jika diketahui sebuah titik (x1,y1) terletak di luar kurva adalah dengan mencari gradienya,akan tetapi sebelum itu kita harus menentukan a dengan memisalkan titik singgungnya adalah [a,f(a)]. Rumus : Contoh Back Hsc

Titik ( 0,-2 ) berada diluar kurva,karena -2 ≠ 03. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0,-2) dan menyinggung kurva y=x3. Solusi : Titik ( 0,-2 ) berada diluar kurva,karena -2 ≠ 03. Misalkan : y = f(x) = x3,maka f ‘(x) = 3x2. Mencari nilai a, a3 + 2 = 3a3 a = 1,m = f ‘(a) =f ‘(1) =3 Persamaan garis singgunya : y-y1 =m (x – x1) Y-(-2) = 3(x-0) Y = 3x – 2 HS

Fungsi Naik dan Fungsi Turun A.Pengertian fungsi naik dan fungsi turun suatu fungsi dikatakan naik apabila,nilai fungsi dari kiri kekanan selalu membesar.sebaliknya suatu fungsi dikatakan turun jika ,nilai fungsi dari kiri ke kanan semakin mengecil atau menurun. Y = f (x) Y F (x) turun Perhatikan gambar disamping F (x) naik Hsc Nex X a

Nex Back Berdasarkan gambar disamping diperoleh : 1.Fungsi f (x) merupakan fungsi naik dalam interval x > a,karena dalam interval tersebut jika nilai x semakin besar maka nilai fungsi f(x) pun semakin besar. 2.Fungsi f (x) merupakan fungsi turun dalam interval x < a,karena dalam interval tersebut jika nilai x semakin besar maka nilai fungsi f (x) semakin kecil Nex Back

Nex Back B.Menentukan interval suatu fungsi naik atau fungsi turun untuk menentukan interval fungsi f(x) naik adalah dengan menyelesaikan pertidaksamaan f ‘(x) > 0.demikian juga untuk menentukan interval fungsi f(x) turun adalah dengan menyelesaikan pertidak samaan f ‘(x) < 0. Contoh Nex Back

syarat fungsi naik f ‘(x) > 0 sehingga : f ‘(x) > 0 Contoh : tentukan interval-interval dari fungsi f(x) = x2 – 4x agar fungsi : a.naik b.turun solusi : f(x) = x2 -4x,f ‘(x) = 2x – 4 syarat fungsi naik f ‘(x) > 0 sehingga : f ‘(x) > 0 2x – 4 > 0 X > 2 b. Turun F ‘(x) = 2x -4 Syarat fungsi turun f ‘(x) < 0 sehingga F ‘(x) < 0 2x – 4 < 0 X < 2 2 2 HSC

Perhatikan gambar diatas : C k C.Nilai Stasioner (a,f(a))→titik stasioner F (a) F(a)→nilai stasioner a X Y Perhatikan gambar diatas : Fungsi y = f(x) dengan x = a dan f ‘(a) = 0,maka f (a) merupakan nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a dan (a,f(a)) merupakan titik stasionernya.nilai stasioner disebut juga nilai kritis dan titik stasioner disebut juga titik kritis N e x

Nex Back Jenis-jenis nilai stasioner 1.Maksimum Syarat f ‘ (x) = 0 2.Minimum Syarat : f ‘ (x) = 0 f “ (x) > 0 3.Titik belok f ‘(x) = 0 f “(x) = 0 Contoh Nex Back

diketahui fungsi f(x) = 2x3 + 3x2-12x + 4 tentukan : contoh : diketahui fungsi f(x) = 2x3 + 3x2-12x + 4 tentukan : a.nilai-nilai stasionernya b.jenis-jenis stasionernya solusi : a.fungsi f(x) = 2x3 + 3x2-12x + 4 f ‘(x) = 6x2 + 6x – 12 syarat stasioner f ‘(x) = 0,maka 6x2 + 6x – 12 = 0 6 (x + 2) (x-1) = 0 X1 = -2 dan x2 = 1 Untuk x = -2 maka f (-2) =2(-2)3 + 3(-2)2-12(-2) + 4 = 24 untuk x = 1 maka, f (1) = 2 (1)3 + 3(1)2 -12(1) +4 = -3 jadi nilai stasionernya adalah 24 dan -3 NEX

BACK HS b.f “(x) = 12x + 6 untuk x = -2 maka 12(-2) + 6 < 0 Karena f “(x) < 0 maka maksimum Jadi f(-2) = 24 merupakan nilai balik maksimum Untuk x = 1 maka, 12(1) + 6 > 0,karena f”(1) > 0 maka minimum Jadi f(1) = -3 merupakan nilai balik minimum BACK HS

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Langkah –langkah dalam menggambar grafik suatu fungsi aljabar adalah sebagai berikut : Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu x dan sumbu y ) Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik maksimum,minimum,dan titik beloknya ) Menentukan nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negatif. B A C K Catatan : F(x) = ax2 + bx + c a > 0 dan D < 0 maka f ‘ (x) definit positif atau f ‘(x) > 0 Home

gambarlah kurva dari fungsi y = x2 – x – 2 solusi : contoh : gambarlah kurva dari fungsi y = x2 – x – 2 solusi : menentukan titik potong dengan sumbu x maka y = 0 x2 – x – 2 = 0 (x – 2) (x + 1) = 0 X = 2 atau x =-1 Koordinat titiknya (2,0) dan (-1,0) Menentukan titik potong dengan sumbu y maka x = 0 Y = 02 – 0 – 2 Y = -2, koordinat titiknya adalah (0,-2) Menentukan nilai ekstrim X = -b/2a dan y = -D/ 4a X =1/2, y =-9/4 Koordinat titiknya adalah (1/2,-9/4) NEX

Gambar grafiknya -1 -2 X Y (1/2,-9/4) BACK HS