Universitas Pekalongan PENGUKURAN DISPERSI, KEMIRINGAN, DAN KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA Universitas Pekalongan Agustus 2014

HOMOGEN DAN HETEROGEN DATA 50,50,50,50,50 30,40,50,60,70 20,30,50,70,80 Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata hitung yang sama, yaitu :

DISPERSI DATA adalah Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data. Jenisnya : Dispersi mutlak - Jangkauan (Range) - Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) - Variansi (Variance) - Standar Deviasi (Standart Deviation) - Simpangan Kuartil (Quartile Deviation) Dispersi relatif Koefisien Variasi (Coeficient of Variation)

1. JANGKAUAN (Range) r = nilai maksimum – nilai minumum Data tidak berkelompok : r = nilai maksimum – nilai minumum Data Kelompok : r = nilai tengah kelas terakhir – nilai tengah kelas pertama Semakin kecil nilai r maka kualitas data akan semakin baik

2. SIMPANGAN RATA-RATA Jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi dibagi dengan banyaknya data. Data tidak berkelompok : Data berkelompok :

SIMPANGAN RATA-RATA (lanjutan) Contoh : Interval Kelas X f 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 50,92 37,92 24,92 11,92 1,08 14,08 27,08 152,76 151,68 99,68 95,36 12,96 323,84 162,48 Σf = 60 998,76

3. VARIANSI Varians merupakan suatu ukuran keberagaman data. Semakin besar angka varians, berarti semakin beragam data yang kita miliki. Semakin kecil angka varians, berarti semakin homogen data yang kita miliki.

3. VARIANSI (lanjutan) Adalah rata-rata dari kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitungnya. Data tidak berkelompok : Data berkelompok :

4. STANDAR DEVIASI - Akar dari Variansi. - Disebut juga Simpangan Baku. Data tidak berkelompok : Data berkelompok :

STANDAR DEVIASI (lanjutan) Contoh 1 : Interval Kelas X f 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 8 12 23 6 2592,85 1437,93 621 142,09 1,17 198,25 733,33 7778,55 5751,72 2484 1136,72 14,04 4559,75 4399,98 Σf = 60 26124,76

Rumus lain dari Varians Menghitung Variansi dan Standar Deviasi juga dapat menggunakan Deviasi dalam interval (d).

Rumus lain dari Varians (lanjutan) Contoh : Interval Kelas X d f fd fd2 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 12 23 6 -9 -8 -4 46 18 27 16 92 Σf = 60 ΣfU = 55 205

5. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil disebut juga Jangkauan kuartil, rentang semi antar kuartil, deviasi kuartil. Rumus : Ket : JK: jangkauan kuartil Q1: kuartil bawah/ pertama Q3: kuartil atas/ ketiga

Dispersi Relatif : Koefisien Variasi Untuk mengatasi dispersi data yang sifatnya mutlak, seperti simpangan baku, variansi, standar deviasi, jangkauan kuartil,dll Untuk membandingkan variasi antara nilai – nilai bersar dengan nilai – nilai kecil. Untuk mengatasi jangkauan data yang lebih dari 2 kelompok data. Rumus: Ket: KV: Koefisien variasi S : Standar deviasi X : Rata – rata hitung

Contoh Soal Koefisien Variasi Ada dua jenis bola lampu. Lampu jenis A secara rata – rata mampu menyala selama 1500 jam dengan simpangan baku (standar deviasi) S1 = 275 jam, sedangkan lampu jenis B secara rata – rata dapat menyala selama 1.750 jam dengan simpangan baku S2 = 300 jam. Lampu mana yang kualitasnya paling baik?

Jawab: Lampu jenis A: Lampu jenis B:

KOEFISIEN VARIASI KUARTIL Alternatif lain untuk dispersi relatif yang bisa digunakan jika suatu kelompok data tidak diketahui nilai rata – rata hitungnya dan nilai standar deviasinya. Rumus: atau

NILAI BAKU Nilai baku atau skor baku adalah hasil transformasi antara nilai rata – rata hitung dengan standar deviasi Rumus: Nilai i = 1, 2, 3, …, n

Contoh Soal Nilai rata – rata ujian akhir semester mata kuliah Statistika dengan 45 mahasiswa adalah 78 dan simpangan baku (S) = 10. Sedangkan untuk mata kuliah Bahasa Inggris di Kelas itu mempunyai nilai rata – rata 84 dan simpangan bakunya (S) = 18. Bila dikelas itu, Desi mendapat nilai UAS untuk mata kuliah statistika adalah 86 dan untuk bahasa Inggris adalah 92, bagaimana posisi/ prestasi Desi di kelas itu?

Jawab Untuk mengetahui posisi/ prestasi Desi, maka harus dicari nilai baku (Z) dari kedua mata kuliah tersebut. dengan nilai X adalah nilai UAS yang diperoleh Desi

Untuk Mata Kuliah Statistika X = 86 Rata-rata = 78 dan S = 10 Maka: Untuk Mata Kuliah Bahasa Inggris X = 92 Rata-rata = 84 dan S = 18 Karena nilai baku (Z) untuk mata kuliah Statistika lebih besar dari B. Inggris, maka posisi Desi lebih baik pada mata kuliah Statistika dari pada B. Inggris

KEMIRINGAN DISTRIBUSI DATA Adalah Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi data. Ada 3 rumus : 1. Pearson 2. Momen 3. Bowley

1. RUMUS PEARSON

2. RUMUS MOMEN Data tidak berkelompok Data berkelompok

RUMUS MOMEN (lanjutan)

3. RUMUS BOWLEY Jika Q3 - Q2 = Q2 - Q1 atau Q3 + Q1 - 2Q2 = 0 maka α = 0 dan distribusi datanya simetri Jika Q1 = Q2 maka α = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan Jika Q2 = Q3 maka α = -1 dan distribusi datanya miring ke kiri

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA Adalah Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Disebut juga Kurtosis. Ada 3 jenis : 1. Leptokurtis, puncak relatif tinggi 2. Mesokurtis, puncaknya normal 3. Platikurtis, puncak rendah

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA (lanjutan) Data tidak berkelompok Data berkelompok Atau

Selain cara di atas, untuk mencari keruncingan data, dapat dicari dengan menggunakan rumus: Keterangan K = 0,263 maka keruncingan distribusi data mesokurtis K > 0,263 maka keruncingan distribusi data leptokurtis K < 0,263 maka keruncingan distribusi data platikurtis K= Koefisien Kurtorsis Persentil