Kode Sempurna Tri Kusmaryati 07305141017

OUTLINE [1] Pengantar [2] Definisi [3] Contoh [4] Sifat-sifat

Pengantar Lapangan berhingga F yang memuat q elemen sering dinotasikan dengan GF(q) yang disebut Galois Field. Perhatikan bahwa q mempunyai bentuk p^n, yaitu q merupakan suatu bilangan prima p atau hasil pemangkatan dari p. Notasi GF(p^n) adalah suatu lapangan dengan karakteristik p. Definisi 5.1.4. Untuk suatu kode alphabet A berukuran q (q > 1), nilai n, dan d yang diberikan, menyatakan ukuran M terbesar yang mungkin untuk (n, M, d)-kode atas A. Sehingga

Pengantar Definisi 5.2.1. A suatu alphabet berukuran q (q > 1). Untuk sebarang vektor dan sebarang bilangan bulat r ≥ 0, sphere berjari-jari r dan berpusat di u, dinotasikan dengan , adalah himpunan . Definisi 5.2.2. Untuk suatu bilangan bulat q > 1, suatu bilangan bulat positif n dan suatu bilangan bulat r ≥ 0, didefinisikan sebagai dan

Pengantar Lemma 5.2.3. Untuk semua bilangan bulat r ≥ 0, sphere berjari-jari r di memuat dengan tepat vektor, dimana A adalah suatu alphabet berukuran q > 1. Teorema 5.3.1 (Hamming/Sphere-Packing Bound) Untuk suatu bilangan bulat q > 1 dan bilangan bulat n, d sedemikian sehingga 1 ≤ d ≤ n, terdapat

Definisi Kode sempurna adalah suatu [n,M]-kode pengoreksi e-kesalahan atas alphabet A sedemikian sehingga setiap n-tupel atas A berada dalam sphere berjari-jari e di sekitar beberapa codeword.

Contoh Kode Hamming Teorema 3.6. C suatu kode hamming berorder r atas GF(q) adalah suatu kode sempurna. bukti: Kode hamming memiliki jarak 3 sedemikian sehingga e = 1. Ambil . Vektor dengan jarak satu dari c diperoleh dengan memilih satu dari n posisi koordinat di c, dan memasangkan komponen-komponennya ke sebarang q-1. Sehingga termasuk c sendiri, sphere berjari-jari satu di sekitar c memuat 1+n(q-1) vektor. Karena vektor-vektor tersebut disjoint, dan karena terdapat sejumlah codeword, dimana k = n-r, maka total vektor yang termuat dalam semua sphere adalah [1+n(q-1)] = [1 + n ( - 1)] = . Namun ini merupakan jumlah total dari vektor-vektor pada selurung ruang n-tupel atas GF(q). Maka setiap n-tupel berada dalam beberapa sphere dan kode tersebut adalah sempurna.

Sifat-sifat Pada suatu kode sempurna dengan panjang n, tak hanya codeword dalam sphere dengan jari-jari e yang disjoint, namun juga seluruh ruang n-tupel. Suatu kode-[n,M] pengoreksi e-kesalahan adalah sempurna jika dan hanya jika memenuhi hamming bound. Suatu kode sempurna atas alfabet memiliki sejumlah prima atau pangkat bilangan prima elemen.