Defenisi Setiap perusahaan atau organisasi memiliki keterbatasan atas sumber dayanya, baik keterbatasan dalam jumlah bahan baku, mesin dan peralatan, ruang tenaga kerja, jam kerja, maupun modal. Dengan keterbatasan ini, perusahaan perlu merencanakan strategi yang dapat mengoptimalkan hasil yang ingin dicapai, baik itu berupa keuntungan maksimal atau biaya minimal. Berbagai cara lain telah ditemukan untuk tujuan itu, salah satu diantaranya pemrograman linear (Eddy, 2008). Pemrograman Linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman Linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Pemrograman Linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear (Siringoringo, 2005).

Contoh Model Model Kombinasi Produk Model Investasi Model Pemasaran Model Transportasi Model Analisis Model Penjadwalan Kumpulan Data

Contoh Model Kombinasi Produk Perusahaan ini sudah dikontrak untuk membuat kaus standar dengan gambar tim pemenang pada suatu kompetisi sepak bola antar universitas. Kaus yang diproduksi mencakup 2 jenis kaus lengan panjang, satu dengan gambar disisi depan dan satu lagi gambar didua sisi depan belakang, dan dua jenis kaus lengan pendek dengan bentuk gambar serupa. Perusahaan harus menyelesaikan seluruh produksinya 72 jam setelah pertandingan usai dan harus tepat pada waktunya. Truk pengangkut memiliki kapasitas muatan sebanyak kardus ukuran standar. Satubox ukuran standar berisi12 kaus lengan pendek, sementara satu kardus berisi selusin kaus lengan panjang berukuran 3x lebih besar. Perusahaan memiliki dana $ untuk memproduksi kaus. Perusahaan juga memiliki 500 lusin kaus lengan pendek dan 500 kaus lengan panjang polos yang siap disablon.

Persyaratan sumber daya Waktu proses(hr) Perlusin Biaya($) perlusin Keuntungan($) perlusin Kaus lengan panjang-(satu sisi)0, Kaus lengan panjang-(dua sisi) Kaus lengan pendek (satus isi)0, Kaus lengan pendek (satu sisi)0,213565

Jawaban Variable keputusan Masalah ini memiliki empat variabel keputusan yang mencerminkan jumlah (dalam lusin) tiap jenis kaus yang akan diproduksi x1 = kaos lengan panjang, gambar sisi depan x2 = kaos lengan panjang, gambar dua sisi x3 = kaos lengan pendek, gambar sisi depan x4 = kaos lengan pendek, gambar dua sisi Fungsi tujuan Maksimalkan Z = $90 x x2+ 45 x3+ 65 x4 Batasan model 0,10x1 + 0,25x2 + 0,08x3 + 0,21x4 ≤ 72 3x1 + 3x2 + x3 + x4 ≤ $36x1 + 48x2 + 25x3 + 35x4 ≤ x1 + x2 ≤ 500 x3 + x4 ≤ 500 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Contoh Model Investasi 1. Tidak lebih dari 20% dari total investasi dalam bentuk obligasi PEMERINTAH. 2. Jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito tidak boleh melebihi jumlah yang diinvestasikan dalam ketiga pilihan yang lain. 3. Paling sedikit 30% investasi harus dalam wesel bayar (treasury bill) dan sertifikat deposito 4. Agar aman, perbandingkan investasi pada sertifikat deposit dan treasury bills dengan investasi dalam obligasi pemerintah dan saham harus paling tidak 1,2 : 1 Kathleen merencanakan untuk menginvestasikan seluruh $ Kathleen Allen mempunyai dana $ untuk dibagi dalam beberapa bentuk investasi. Pilihan investasi adalah obligasi pemerintah dengan tingkat pengembalian 8,5%, sertifikat deposito dengan tingkat pengembalian 10%, treasury bills dengan tingkat pengembalian 6,5% dan obligasi pendapatan dengan tingkat pengembalian 13%. Jumlah waktu sampai jatuh tempo sama untuk setiap pilihan. Akan tetapi, setiap pilihan investasi mempunyai perbedaan resiko. Berikut ini pedoman, yang ditetapkan untuk melakukan diversifikasi investasi dan mengurangi resiko yang terlihat oleh investor.

Jawaban Variable keputusan x1 = jumlah($) yang diinvestasikan dalam obligasi pemerintah x2 = jumlah($) yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito x13 = jumlah($) yang diinvestasikan dalam treasury bill x14 = jumlah($) yang diinvestasikan dalam saham Fungsi tujuan Maksimalkan Z = $0,085x1 + 0,1x2 + 0,065x3 + 0,130x4 Dimana Z = total pengembalian dari semua investasi 0,085x1 = pengembalian investasi dalam obligasi pemerintah 0,05x2 = pengembalian investasi dalam sertifikat deposito 0,065x3 = pengembalian investasi dalam treasury bills 0,130x4 = pengembalian investasi dalam saham

Jawaban Batasan Model Investasi dalam obligasi pemerintah tidak boleh melebihi 20% dari total investasi x1≤ Jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito tidak boleh melebihi jumlah yang diinvestasikan dalam tiga pilihan investasi lain. x2≤ x1 + x3 + x4 x2 –x1 -x3 -x4≤ 0 Paling sedikit 30% dari $ adalah $ dan x2 = x3 merupakan jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito dan treasury bills x2 + x3≥ $ Perbandingan antara jumlah yang diinvestasikan dalam obligasi pemerintah dan jumlah yang diinvestasikan dalam treasury bill paling tidak 1.2 : 1 [(x2 + x3 ) / (x1 + x4 )] ≥ 1,2 x1 + x4 ≥ 1,2 (x1 + x4 ) -1,2x1 + x2+ x3 – 1,2x4 ≥ 0 Investor ingin menginvestasikan seluruh $ dalam keempat pilihan x1 + x2 + x3 + x4= $70.000

Contoh Model Pemasaran Jaringan toko serba ada The Biggs menyewa perusahaan periklanan untuk menentukan jenis dan jumlah iklan yang harus diperoleh untuk toko. Tiga jenis iklan yang tersedia adalah iklan komersil radio, televisi, dan iklan surat kabar. Jaringan toko ingin mengetahui jumlah setiap jenis iklan yang harus dibeli dalam rangka memaksimalkan tujuannya. Berikut ini perkiraan setiap iklan komersil yang akan mencapai pemirsa potensial dan biaya tertentu.

Contoh Model Pemasaran Jenis Iklan Komersil Tampilan (jumlah orang/iklan atau komersil/iklan) Biaya ($) Televisi Radio Surat Kabar

Batasan sumber daya Batas anggaran untuk iklan adalah $ Stasiun televisi mempunyai 4 waktu komersil Stasiun radio mempunyai10 waktu komersil Surat Kabar mempunyai jatah yang tersedia untuk 7 iklan Perusahaan iklan hanya mempunyai waktu dan karyawan untuk memproduksi Jumlah total komersial dani klan tidak dapat melebihi 15 karakter karena keterbatasan iklan

Jawaban Variabel Keputusan Model ini memiliki tiga variabel keputusan: X1 = jumlah iklan komersil televisi X2 = jumlah iklan komersil radio X3 = jumlah iklan surat kabar Fungsi Tujuan Untuk masalah ini tujuan target pemirsa atau pembaca diperoleh dari menjumlahkan pemirsa atau pembaca setiap iklan. Memaksimalkan Z = X X X3 Dimana, Z = jumah pemirsa/pembaca X1 = perkiraan jumlah pemirsa yang dicapai oleh komersial televisi X2 = perkiraan jumlah pemirsa yang dicapai oleh iklan radio X3 = perkiraan pembaca yang dicapai oleh iklan surat kabar

Ringkasan Model Model program linear pada masalah ini adalah: Memaksimalkan Z = X X X3 Batasan X X X3 ≤ X1 ≤ 4 X2 ≤ 10 X3 ≤ 7 X1 + X2 + X3 ≤ 15 X1 + X2 + X3 ≥ 0

Contoh Model Transportasi Metode North West Corner ada tiga pabrik mengirim pupuk ke tiga pasar yang masing masing pabrik berkapasitas (suplay) adalah 120,80, 80. Permintaan dari 150, 70, 60. Biaya angkut dari masing masing pabrik 1 ketiga pelanggan adalah 8, 5, 6, pabrik 2 ketiga pelanggan adalah 15, 10, 12, dan pabrik 3 ketiga pelanggan adalah 3, 9, 10. dari permasalahan tersebut yang ingin diketahui adalah terkait dengan biaya minimum yang digunakan untuk mendistribusikan barang tersebut.

Langkah Penyelesaian Mengalokasikan nilai terkecil antara demand tujuan 1 dan supply asal 1, nilai terkecil adalah nilai supply yaitu 120 di baris 1 dan kolom 1 diisi 120 Demand pada kolom 1 belum terpenuhi, jadi dialokasikan sisa dari 150 dikurangi 120. Tujuan 1 diberikan sebanyak 30 dari pabrik 2. Karena baris 2 belum terisi penuh, maka dialokasikan sebanyak 50 sehingga baris 2 sudah terisi penuh 80. Kemudian mengalokasikan sisa dari pengurangan deman tujuan 2 dengan 50. Jadi, tujuan 2 mendapat sebanyak 20 dari asal 3 Selanjutnya mengalokasikan 60 ke tujuan 3 dari asal 3 Bentuk tabel penyelesaiannya sebagai berikut

Jawaban Asal (pabrik) Tujuan (pasar) 123Supply Demand Tabel Penyelesaian

Jawaban Langkah terakhir adalah menghitung biaya yang dikeluarkan Z = (8 x 120) + (15 x 30) +(10x 50) + (9x20) + (10x 60) = = 2690 Jadi biaya yang dikeluarkan untuk distribusi barang adalah sebesar 2690.

Contoh Model Analis Perusahaan konveksi “Maju” membuat dua produk, yaitu celana dan baju. Produk tersebut harus diproses melalui dua unit produksi, yaitu pemotongan bahan dan penjahitan bahan. Kendala (keterbatasan) teknis pada fungsi pemotongan bahan mensyaratkan proses pemotongan bahan hanya memiliki 60 jam kerja, sedangkan fungsi penjahitan hanya 48 jam. Untuk menghasilkan satgu celana dibutuhkan waktu 4 jam kerja pemotongan bahan dan 2 jam penjahitan. Sementara untuk menghasilkan baju dibutuhkan 2 jam kerja pemotongan bahan dan 4 jam kerja penjahitan. Laba setiap celana Rp 8.000,00 dan tiap baju Rp 6.000,00. Perusahaan yang bersangkutan harus menentukan kombinasi terbaik dari celana dfan baju yang harus diproduksi dan dijual guna mencapai laba maksimum.

Merumuskan Model Proses Waktu Yang Dibutuhkan (jam) Waktu Yang Tersedia CelanaBaju Pemotongan Bahan42 Pejahitan2460 Laba PerunitRp 8.000,00Rp 6.000,0048 PeubahX1X1 X2X2 Maksimumkan

Model Program Linier 1. FUNGSI TUJUAN Fungsi tujuan Maksimumkan Z = 8000 X 1 X 2 2. FUNGSI PEMBATAS: Pemotongan bahan, 4 X X 2  Penjahitan, 2X X 2  48 Syarat non-negatif, X 1 X 2  0