PENGUJIAN HIPOTESIS PARAMETRIK Tri |Rahajoeningroem, MT Jurusan Teknik Elektro UNIKOM

A. Pengujian Hipotesis Parametrik Satu Koefisien Korelasi Linier 1. Pendahuluan Seperti pada pengujian satu rerata, di sini, kita hanya membicarakan pengujian hipotesis statistika melalui data sampel Pengujian hipotesis dapat berlangsung pada satu ujung (ujung atas dan ujung bawah) dan pada dua ujung Ada tiga macam hipotesis H0 yang berbeda yakni untuk XY = 0, untuk XY ≠ 0, dan untuk koefisien korelasi biserial titik

2. Rumusan Hipotesis Statistika Parameter populasi adalah satu koefisien korelasi linier XY Rumusan hipotesis statistika dapat berbentuk H0 : XY = konstanta H1 : XY > konstanta H1 : XY < konstanta H1 : XY  konstanta Pengujian hipotesis dilakukan dengan probabilitas keliru tipe I, menggunakan taraf signifikansi 

3. Distribusi Probabilitas Pensampelan Satu Koefisien Korelasi Linier DP Populasi Normal Regresi Populasi Linier Ho : ρXY = 0 H0 : lainnya DP Populasi Tidak Normal

4. Pengujian Hipotesis untuk H0 : XY = 0 Bentuk umum hipotesis adalah H0 : XY = 0 H0 : XY > 0 H0 : XY < 0 H0 : XY ≠ 0 Masing-masing untuk uji ujung atas, uji ujung bawah dan uji dua ujung

Ukuran Efek Ada dua kriteria yang dipergunakan. d = r  0 d sekitar 0,1 efek kecil d sekitar 0,3 efek sedang d sekitar 0,5 efek besar 0,01 < r2 < 0,09 efek kecil 0,09 < r2 < 0,25 efek sedang r2 > 0,25 efek besar

Contoh 1 Suatu penelitian menyatakan bahwa ada korelasi positif di antara populasi independen X dan Y. Sampel acak berukuran 51 menghasilkan koefisien korelasi sampel rXY = 0,30. Populasi berdistribusi normal dan beregresi linier. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi  = 0,05 Hipotesis H0 : XY = 0 H1 : XY > 0 Sampel n = 51 rXY = 0,30

Statistik uji Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP t-Student Kekeliruan baku Derajat kebebasan  = n – 2 = 51 – 2 = 49 Statistik uji

Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis t(0,95)(49) = 1,677 Tolak H0 jika t > 1,677 Terima H0 jika t ≤ 1,677 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0

Contoh 2 Suatu penelitian menyatakan bahwa ada korelasi negatif di antara populasi independen X dan Y. Sampel acak berukuran 66 menghasilkan koefisien korelasi sampel rXY = – 0,28 Populasi berdistribusi normal dan beregresi linier. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi  = 0,025 Hipotesis H0 : XY = 0 H1 : XY < 0 Sampel n = 66 rXY = – 0,28

Statistik uji Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP t-Student Kekeliruan baku Derajat kebebasan  = n – 2 = 66 – 2 = 64 Statistik uji

Keputusan Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,025 Pengujian pada ujung bawah Nilai kritis t(0,025)(49) = – 1,988 Tolak H0 jika t < – 1,988 Terima H0 jika t ≥ – 1,988 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,025 tolak H0

Contoh 3 Suatu penelitian menyatakan bahwa ada korelasi di antara populasi independen X dan Y. Sampel acak berukuran 42 menghasilkan koefisien korelasi sampel rXY = 0,20 Populasi berdistribusi normal dan beregresi linier. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi  = 0,05 Hipotesis H0 : XY = 0 H1 : XY ≠ 0 Sampel n = 42 rXY = 0,20

Statistik uji Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP t-Student Kekeliruan baku Derajat kebebasan  = n – 2 = 42 – 2 = 40 Statistik uji

Keputusan Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 Pengujian pada ujung dua ujung Nilai kritis t(0,025)(40) = – 2,021 t(0,975)(40) = 2,021 Tolak H0 jika t < – 2,021 atau t > 2,021 Terima H0 jika – 2,021≤ t ≤ 2,021 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

Contoh 4 Pada taraf signifikansi 0,05, akan diuji apakah terdapat korelasi positif di antara nilai ujian masuk perguruan tinggi (X) dengan indeks prestasi kumulatif (Y) di kalangan mahasiswa. Sampel acak menunjukkan X 81 76 91 75 83 67 77 68 Y 3,22 2,76 3,45 2,81 3,11 2,48 2,70 2,55 Contoh 5 Pada taraf signifikansi 0,05, akan diuji apakah laju kelahiran X (banyaknya kelahiran per 1000 penduduk) berhubungan negatif dengan rerata harapan hidup Y (dalam tahun). Sampel acak beberapa negara berkembang menunjukkan X 30 38 38 43 34 42 31 32 26 34 Y 66 54 43 42 49 45 64 61 61 66

Contoh 6 Contoh 5 diuji lagi pada taraf signifikansi 0,05 dengan sampel dari sejumlah negara lebih maju. Sampel acak menghasilkan X 10 19 11 17 14 24 15 23 18 21 19 12 Y 76 74 77 73 74 73 75 71 73 72 72 76 Contoh 7 Terdapat dugaan bahwa banyaknya anak yang dimiliki seorang wanita (Y) berhubungan dengan umur ketika wanita itu menikah(X) . Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel acak menghasilkan X 18 22 25 27 21 25 22 19 21 22 24 23 Y 6 4 1 2 2 3 2 5 3 4 5 3

Contoh 8 Pada taraf signifikansi 0,05 akan diuji hubungan di antara berat mobil (X) dalam pound dengan pemakaian bahan bakar Y dalam mile per gallon. Sampel acak menghasilkan X 2800 2650 2500 2340 2200 2300 2500 2600 Y 19 23 27 25 32 26 22 18 Contoh 9 Diduga ada hubungan positif di antara penghasilan X dalam juta rupiah dengan harapan hidup Y dalam tahun. Dugaan ini akan diuji pada taraf signifikansi 0,05. Sampel acak menghasilkan X 13,9 1,9 1,4 1,5 5,8 2,7 11,2 8,2 7,9 10,8 Y 66 54 43 42 49 45 64 61 61 66

Contoh 10 Diduga bahwa banyaknya anak yang dimiliki wanita Y berhubungan positif dengan banyaknya anak yang dimiliki oleh ibunya X. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel acak menunjukkan X 8 6 2 1 3 4 2 5 4 3 4 5 Y 6 4 1 2 2 3 2 5 3 4 5 3 Contoh 11 Diduga ada hubungan positif di antara nilai ujian masuk perguruan tinggi X dengan indeks prestasi akademik Y para mahasiswa. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel acak menghasilkan X 80 85 88 90 95 92 82 75 78 85 Y 2,4 2,8 3,3 3,1 3,7 3,0 2,5 2,3 2,8 3,1

Masing-masing untuk uji ujung atas, uji ujung bawah dan uji dua ujung 5. Pengujian Hipotesis untuk H0 : XY = 0 Bentuk umum hipotesis adalah H0 : XY = 0 H0 : XY > 0 H0 : XY < 0 H0 : XY ≠ 0 Masing-masing untuk uji ujung atas, uji ujung bawah dan uji dua ujung Distribusi probabilitas dinormalkan melalui transformasi Fisher

Contoh 12 Suatu penelitian menyatakann bahwa populasi independen X dan Y berdistribusi probabilitas normal dan beregresi linier. Menurut peneliti koefisien korelasi linier di antara populasi X dan Y adalah lebih dari 0,60. Sampel acak berukuran 39 menghasilkan koefisien korelasi linier pada sampel adalah rXY = 0,70 Pernyataan peneliti ini diuji pada taraf signifikansi 0,05 Hipotesis H0 : XY = 0,60 H1 : XY > 0,60 Transformasi Fisher Z = tanh-1 XY = tanh-1 0,60 = 0,693 H0 : Z = 0,693 H1 : Z > 0,693

Sampel n = 39 rXY = 0,70 Transformasi Fisher Zr = tanh-1 rXY = tanh-1 0,70 = 0,867 Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP normal Kekeliruan baku

Statistik Uji Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z(0,95) = 1,645 Tolak H0 jika z > 1,645 Terima H0 jika z ≤ 1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

Contoh 13 Ulangi pengujian pada contoh 4 sekiranya diduga bahwa hubungan itu lebih dari 0,85 Contoh 14 Ulangi pengujian pada contoh 5 sekiranya diduga bahwa hubungan itu adalah  0,80 Contoh 15 Ulangi pengujian pada contoh 6 sekiranya diduga bahwa hubungan itu adalah  0,80 Contoh 16 Ulangi pengujian pada contoh 8 sekiranya diduga bahwa hubungan itu lebih dari  0,80

Contoh 17 Ulangi pengujian pada contoh 9 sekiranya diduga bahwa hubungan itu lebih dari 0,80 Contoh 18 Ulangi pengujian pada contoh 10 sekiranya diduga bahwa hubungan itu adalah lebih dari 0,60 Contoh 19 Ulangi pengujian pada contoh 11 sekiranya diduga bahwa hubungan itu adalah 0,80 Contoh 20

6. Pengujian Hipotesis Koefisien Korelasi Biserial Titik Distribusi probabilitas pensampelan untuk koefisien korelasi biserial titik dapat didekatkan ke distribusi probabilitas normal Pada pendekatan ini, kekeliruan baku bergantung kepada ukuran sampel yakni Langkah selanjutnya pada pengujian hipotesis adalah serupa dengan pengujian hipotesis untuk koefisien korelasi linier Pada koefisien korelasi biserial titik, satu data berbentuk dikotomi dan data lainnya berbentuk politomi kontinum

Contoh 21 Diduga bahwa data dikotomi X berhubungan negatif dengan data Y. Pengujian dilakukan pada taraf signifikansi 0,05. Sampel acak menghasilkan X Y Yp Yq 1 10 10 1 15 15 0 30 30 p = 8 / 20 = 0,40 0 20 20 q = 12 / 20 = 0,60 0 25 25 1 15 15 sY = 9,15 0 20 20 __ 0 25 25 Yp = 11,25 0 30 30 __ 1 20 20 Yq = 21,67 1 5 5 0 5 5 1 10 10 0 10 10 0 20 20 0 30 30 0 35 35

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : t-Student Kekeliruan baku Hipotesis H0 : tb = 0 H1 : tb < 0 Sampel n = 20 rtb =  0,56 Distribusi probabilitas pensampelan DPP : t-Student Kekeliruan baku r = √ (1- (- 0,562) / (20 – 2) = 0,1953 Derajat kebebasan  = 20 – 2 = 18 Statistik uji z = rtb / r =  0,56 / 0,1953 =  2,8674

Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 Pengujian pada ujung bawah Nilai kritis t (0,05)(18) =  1,734 Tolak H0 jika z <  1,734 Terima H0 jika z ≥  1,734 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05, tolak H0

Contoh 22 Pada taraf signifikansi 0,05 diuji apakah terdapat hubungan positif di antara X dan Y. Sampel acak menghasilkan X 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 Y 6 8 8 11 16 25 27 31 31 39 41 50 56 68 Contoh 23 X 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 Y 59 67 63 65 55 72 62 60 64 66 63 61 62 63 60

Contoh 24 Pada taraf signifikansi 0,05 diuji apakah terdapat hubungan positif di antara X dan Y. Sampel acak menghasilkan X 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 Y 16 12 11 7 15 14 10 11 15 9 13 7 13 X 1 0 1 1 1 Y 11 10 11 10 11 Contoh 25 Pada taraf signifikansi 0,05 diuji apakah terdapat hubungan di antara X dan Y. Sampel acak menghasilkan X 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Y 52 52 44 55 58 52 61 38 53 29 40 40 X 0 1 1 1 Y 45 59 57 50

B. Pengujian Hipotesis Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier 1. Pendahuluan Seperti pada pengujian satu rerata, di sini, kita hanya membicarakan pengujian hipotesis statistika melalui data sampel Pengujian hipotesis dapat berlangsung pada satu ujung (ujung atas dan ujung bawah) dan pada dua ujung Ada dua macam selisih koefisien korelasi linier yakni korelasi independen dan korelasi dependen

Bentuk umum hipotesis adalah H0 : XY  UV = 0 2. Pengujian Hipotesis Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier Independen Bentuk umum hipotesis adalah H0 : XY  UV = 0 H0 : XY  UV > 0 H0 : XY  UV = 0 H0 : XY  UV < 0 H0 : XY  UV ≠ 0 Masing-masing untuk uji ujung atas, uji ujung bawah dan uji dua ujung

Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier Independent 3. Distribusi Probabilitas Pensampelan untuk Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier Independen Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier Independent DP Populasi Normal Regresi Populasi Linier DP Populasi Tidak Normal

Contoh 26 Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal dan beregresi linier. Secara independen, populasi U dan V berdistribusi probabilitas normal dan beregresi linier. Menurut peneliti, koefisien korelasi linier di antara X dan Y lebih besar dari koefisien korelasi linier di antara U dan V Sampel acak menghasilkan nXY = 39 nUV = 52 rXY = 0,52 rUV = 0,43 Pernyataan peneliti diuji pada taraf signifikansi 0,05

Hipotesis H0 : XY  uv = 0 H1 : xy  uv > 0 Transformasi Fisher H0 : ZXY  ZUV = 0 H1 : ZXY  ZUV > 0 Sampel nXY = 39 nUV = 52 rXY = 0,52 rUV = 0,43 ZrXY = tanh-1 0,52 = 0,576 ZrUV = tanh-1 0,43 = 0,460

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP normal Kekeliruan baku Statistik uji

Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis z(0.95) = 1,645 Tolak H0 jika z > 1,645 Terima H0 jika z ≤ 1,645 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

Contoh 27 Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal dan beregresi linier. Secara independen, populasi U dan V berdistribusi probabilitas normal dan beregresi linier. Pada taraf sifnifikansi 0,05 diuji apakah XY sama atau berbeda dengan UV Sampel acak menghasilkan X 80 85 88 90 95 92 82 75 78 85 Y 2,4 2,8 3,3 3,1 3,7 3,0 2,5 2,3 2,8 3,1 U 2 5 7 10 11 V 10 20 35 50 65

4. Pengujian Hipotesis Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier Dependen Bentuk umum hipotesis adalah H0 : XY  XZ = 0 H0 : XY  XZ > 0 H0 : XY  XZ = 0 H0 : XY  XZ < 0 H0 : XY  XZ ≠ 0 Masing-masing untuk uji ujung atas, uji ujung bawah dan uji dua ujung

Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier Dependent 5. Distribusi Probabilitas Pensampelan untuk Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier Dependen Selisih Dua Koefisien Korelasi Linier Dependent DP Populasi Normal Regresi Populasi Linier DP Populasi Tidak Normal

Sampel acak menghasilkan X 175 174 173 176 184 188 191 192 Contoh 28 Populasi X, Y, dan Z berdistribusi probabilitas normal. Terdapat regresi linier di antara X dan Y serta di antara X dan Z sehingga kedua korelasi itu menjadi dependen Pada taraf sifnifikansi 0,05 diuji apakah XY dan XZ sama atau berbeda Sampel acak menghasilkan X 175 174 173 176 184 188 191 192 Y 145 136 145 140 136 148 152 154 Z 156 146 142 145 145 144 160 159 X 191 193 191 187 189 Y 155 154 146 150 149 Z 165 157 161 160 159 Hipotesis H0 : XY – XZ = 0 H1 : XY – XZ ≠ 0

Sampel n = 13 rXY = 0,733 rYZ = 0,730 rXZ = 0,690 Distribusi probabilitas pensampelan  = n – 3 = 13 – 3 = 10 Statik uji

Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,05 Pengujian pada dua ujung ½ = 0,025 Nilai kritis t(0,025)(10) = – 2,228 t(0,975)(10) = 2,228 Tolak H0 jika t < – 2 ,228 atau t > 2,228 Terima H0 jika – 2,228 ≤ t ≤ 2,228 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

C. Pengujian Hipotesis Satu Koefisien Regresi Linier 1. Pendahuluan Seperti pada pengujian satu rerata, di sini, kita hanya membicarakan pengujian hipotesis statistika melalui data sampel Pengujian hipotesis dapat berlangsung pada satu ujung (ujung atas dan ujung bawah) dan pada dua ujung Ada dua macam koefisien regresi linier yakni koefisien regresi A dan koefisien regresi B Biasanya koefisien regresi B lebih banyak digunakan

Bentuk umum hipotesis adalah 2. Pengujian Hipotesis Koefisien Regresi Linier Bentuk umum hipotesis adalah H0 : A = 0 H0 : B = 0 H0 : A > 0 H1 : B > 0 H0 : A = 0 H0 : B = 0 H0 : A < 0 H1 : B < 0 H0 : A ≠ 0 H1 : B ≠ 0 Masing-masing untuk uji ujung atas, uji ujung bawah dan uji dua ujung

3. Distribusi Probabilitas Pensampelan untuk Satu Koefisien Regresi Linier DP Populasi Normal Regresi Populasi Linier Koefisien Regresi a Koefisien Regresi b DP Populasi Tidak Normal

Contoh 30 Suatu hipotesis menyatakan bahwa di antara ujian akhir semester Y dan ujian tengah semester X terdapat regresi linier dengan koefisien regresi linier B yang lebih dari 0,75. Populasi berdistribusi probabilitas normal. Hipotesis ini diuji pada taraf signifikansi 0,05 Sampel acak menghasilkan X 70 74 80 84 80 67 70 64 74 82 Y 87 79 88 98 96 73 83 79 91 94 Hipotesis H0 : B = 0,75 H1 : B > 0,75

Sampel n = 10 sX = 6,786 rXY = 0,839 sY = 8,217 b = 1, 016 Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP t-Student Kekeliruan baku Derajat kebebasan  = 10 – 2 = 8

Statistik uji t = (b – B) / b = (1,016 – 0,75) / 0,233 = 1,142 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis t(0,95)(8) = 1,860 Tolak H0 jika t > 1,860 Terima H0 jika t ≤ 1,860 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0

Dengan X sebagai variabel bebas sampel acak menghasilkan Contoh 31 Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal. Pada taraf signifikansi 0,05 diuji apakah koefisien regresi linier B tidak sama dengan nol Dengan X sebagai variabel bebas sampel acak menghasilkan X 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Y 8,1 7,8 8,5 9,8 9,5 8,9 8,6 10,2 9,3 9,2 10,5 Contoh 32

D. Pengujian Hipotesis Selisih Dua Koefisien Regresi Linier 1. Pendahuluan Seperti pada pengujian satu rerata, di sini, kita hanya membicarakan pengujian hipotesis statistika melalui data sampel Pengujian hipotesis dapat berlangsung pada satu ujung (ujung atas dan ujung bawah) dan pada dua ujung Ada dua macam selisih koefisien regresi linier yakni koefisien regresi linier A dan koefisien regresi linier B Di sini hanya dibahas tentang selisih koefisien regresi linier B

Bentuk umum hipotesis adalah 2. Pengujian Hipotesis Selisih Dua Koefisien Regresi Linier Bentuk umum hipotesis adalah H0 : A1 – A2 = 0 H0 : B1 – B2 = 0 H0 : A1 – A2 > 0 H1 : B1 – B2 > 0 H0 : A1 – A2 = 0 H0 : B1 – B2 = 0 H0 : A1 – A2 < 0 H1 : B1 – B2 < 0 H0 : A1 – A2 ≠ 0 H1 : B1 – B2 ≠ 0 Masing-masing untuk uji ujung atas, uji ujung bawah dan uji dua ujung

Selisih Dua Koefisien Regresi Linier Independent 3. Distribusi Probabilitas Pensampelan untuk Selisih Dua Koefisien Regresi Linier Independen Selisih Dua Koefisien Regresi Linier Independent DP Populasi Normal Regresi Populasi Linier DP Populasi Tidak Normal

Contoh Dua kelompok olahragawan mengikuti dua program latihan yang berbeda. Terdapat regresi linier di antara waktu (menit dan detik) dan frekuensi lompat sampai letih. Pada taraf signifikansi 0,02 diuji apakah koefisien regresi linier B di antara mereka sama atau berbeda. Sampel acak menghasilkan Kelompok 1 Kelompok 2 Waktu Frek Waktu Frek 11.16 45 11.34 125 12.30 60 13.21 40 11.30 40 10.39 123 10.17 101 10.14 92 11.48 60 9.27 93 9.29 80 9.56 100 11.06 51 11.47 70 12.02 50 12.12 57 11.52 99 12.25 67 11.28 34 11.03 101 11.24 70 10.21 85

Hipotesis H0 : B1 – B2 = 0 H1 : B1 – B2 ≠ 0 Sampel Ubah waktu menjadi detik n1 = 10 n2 = 12 s2X1 = 2793,07 s2X2 = 4317,42 s2Y1 = 560,44 s2Y2 = 1183,58 r2X1Y1 = 0,1387 r2X2Y2 = 0,2759 b1 =  0,1668 b2 =  0,0561

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : t-Student Kekeliruan baku Derajat kebebasan  = (n1 – 2) + (n2 – 2) = 18

Statistik uji Kriteria pengujian Taraf signifikansi  = 0,02 Pengujian dua ujung ½ = 0,01 Nilai kritis t(0,01)(18) =  2,552 t(0,99)(18) = 2,552 Tolak H0 jika t <  2,552 atau t > 2,552 Terima H0 jika  2,552 ≤ t ≤ 2,552 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,02 terima H0