BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET Tri Rahajoeningroem, MT Jurusan Teknik Elektro UNIKOM

Pengantar: Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku (kelakuan) perubah acak tersebut. Sering kita menjumpai, pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama. Oleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan dengan percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama. Dalam banyak praktek yang sering kita jumpai, hanya memerlukan beberapa distribusi probailitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskret.

Distribusi Seragam Diskret Distribusi Binomial dan Multinomial Daftar Isi Materi: Distribusi Seragam Diskret Distribusi Binomial dan Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson

5.1. Distribusi Seragam Diskret Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama. Distribusi ini disebut distribusi probabilitas seragam diskret. Definisi (5.1) Jika perubah acak X mendapat nilai dengan probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskret diberikan oleh: Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x Tabel 5.1. Distribusi proabilitas X x 1 2 3 4 5 6 F(x;k)=f(x)

Contoh (5.1) Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Teorema (5.1) Nilai rata-rata (mean) dan variansi distribusi seragam diskret f(x;k) adalah Mean(X), Varian(X); atau Bukti sbb:

Contoh (5.2) Jawab: Menurut definisi, dan Cari mean dan variansi dari contoh (5.1) Jawab:

5.2. Distribusi Binomial dan Multinomial Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut: 1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang 2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal 3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya. 4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Contoh (5.3) Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik, diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3. Tabel 5.2. C=cacat ; T=tidak cacat (baik) Karena barang diambil secara acak, dan misalkan dianggap menghasilkan 25% barang cacat, maka Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan jalan ang sama. Hasil X TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC 1 2 3

tabel 5.3 Distribusi probabilitas X Percobaan Binomial Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n) Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat. Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p) x 0 1 2 3 f(x)

Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu. Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah (bebas) maka probabilitasnya adalah Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 5.2 : n=3 dan Contoh (5.4) Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Jawab: Misal tiap pengujian saling bebas Catatan:

Contoh (5.5) Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c). tepat 5 orang yg sembuh Jawab: Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diket : p = 0.4 n = 15 a). Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

b) Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779 c) Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859  

Tabel 5.4 Cara menggunakan tabel binomial p 0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . . 15 1 2 0.0271 : 8 0.9050 9 0.9662 Untuk n=15, p=0.4 ;

Teorema(5.2) Cara lain mencari nilai distribusi Binomial: Gunakan software R , langkahnya sbb: > pbinom(9,15,0.4) [1] 0.9661667 > pbinom(8,15,0.4) [1] 0.9049526 > pbinom(2,15,0.4) [1] 0.027114 > pbinom(5,15,0.4) [1] 0.4032156 > pbinom(4,15,0.4) [1] 0.2172777 Teorema(5.2) Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan variansi sbb: dan

Contoh (5.6) Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.5) kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang Jawab: Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4 Diperoleh: dan Menggunakan teorema Chebyshev adalah Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 2.206 sampai 9.794

Percobaan Multinomial Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial jika tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin. Misalnya hasil produksi pabrik dapat dikelompokan menjadi barang baik, cacat, dan masih bisa diperbaiki. Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil Dengan probabilitasnya maka distribusi perubah acak yang menyatakan banyaknya kejadian Dalam n-usaha bebas adalah Dengan dan

Contoh(5.7) Dua buah dadu dilantunkan 6 kali, berapa probabilitas akan mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kominasi lainnya 3 kali? Jawab: Misal: E1= muncul jumlah 7 atau 11 p(E1)=2/9 E2= muncul pasangan bilangan yang sama p(E2)=1/6 E3= muncul selain E1 maupun E2 p(E3)=11/18 Nilai initidak berubah dari ke6-usaha. Menggunakan distribusi multinomial dengan x1=2, x2=1 dan x3=3 diperoleh:

5.3. Distribusi Hipergeometrik Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu, sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada sampling tanpa pengembalian. Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat: 1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N benda. 2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k diberi nama gagal.

Distribusi Hipergeometrik Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k gagal dinyatakan sebagai: Contoh (5.8) Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang duduk dalam panitia. Jawab:

Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia. X={0,1,2,3} Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus ; Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik x 1 2 3 h(x;8,5,3)

Teorema(5.3) Contoh (5.9) Jawab: Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan variansi sbb: dan Contoh (5.9) Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang Jawab: Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4 Diperoleh dan Menggunakan teorema Chebyshev adalah Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491

Contoh (5.10) Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman sebanyak 5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika ada seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapa probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat. Jawab: Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka probabilitasnya dihampiri dengan binomial dengan p= 10/5000= 0,2 adalah probailitas mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat: 23

Jika dihitung dengan software R > phyper(3,5000,10,1000) # tidak bisa menghitung [1] 0 Dihitung dengan pendekatan distribusi binomial > pbinom(3,10,0.2) [1] 0.8791261 > pbinom(2,10,0.2) [1] 0.6777995 Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat adalah

5.4. Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan prubah acak X ynag menyatakan banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut “distribusi poisson”. Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut: 1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang) waktu tertentu independen dengan daerah lainya. 2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang. 3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang sempit diabaikan. Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan dengan , dimana adalah rata-rata hasil

Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t, dinatakan: dimana: e=2,71828 dan menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu. Misalkan , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18 diberikan pada tabel Poisson. Atau dengan bantuan software R Contoh (5.11) Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu melayani.

Jawab: Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari Maka   Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487 Cara lain, jika tidak menggunakan tabel, gunakan program R, langkahnya sbb: > ppois(15,10) [1] 0.9512596 Artinya:

Teorema(5.4) Distribusi poisson mempunyai rata-rata dan variansi sbb dan Contoh (5.12) Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghiung selama 1 milidtik dalam suatu percobaan di laoratoium adalah 4. berapa probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu. Kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang Jawab: dari tabel poisson dengan diperoleh dari diperoleh Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 0 sampai 8

Tabel 5.7. Cara menggunakan tabel Poisson 0. 1 . . . . . . . 4.0 . . . . . . . . . 1 : 5 0,7851 6 0,8893 16 Meggunakan R: > ppois(6,4) [1] 0.889326 > ppois(5,4) [1] 0.7851304 Untuk n=15, p=0.4, menggunakan tabel diperoleh:

Teorema(5.5) Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi probabilitas b(x,n,p). Jika n , p dan tetap sama maka Contoh (5.12) Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan. Jika diketahui rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan erisi kurang dari 7 yang bergelembung? Jawab: n=8000, p=0.001 dihampiri dengan distribusi poisson dengan diperoleh menggunakan tabel: 30

Jika tidak menggunakan tabel, cara lain, gunakan R, langkahnya > pbinom(6,8000,0.001) [1] 0.3132521 > ppois(6,8) [1] 0.3133743 Diperoleh: Dan