Metode Statistik Metode Statistik Statistik Statistik Deskriptif Inferensial Pengujian Estimasi Hipotesis

Saya 95% yakin bahwa mX berada di antara 40 & 60. Proses Estimasi Population Sampel Acak Saya 95% yakin bahwa mX berada di antara 40 & 60. Mean `X = 50 Mean, mX, diketahui

Estimasi Parameter Populasi Estimate Parameter dengan Satistik Populasi Sampel Mean m ` x x Proporsi p p s 2 Variansi 2 s s x Perbedaan m - m ` x - ` x 1 2 1 2

Metode Estimasi Estimasi Estimasi Estimasi Titik Interval Interval Boot- Interval Kepercayaan strapping Prediksi

Estimasi Titik 1. Memberikan Nilai Tunggal Berdasarkan pada observasi 1 sampel 2. Nilai estimasi titik tidak memberikan informasi mengenai seberapa dekat dengan parameter populasi yang tidak diketahui nilainya 3. Contoh: Mean sampel`X = 3 merupakan estimasi titik dari mean populasi yang tidak diketahui

Estimasi Interval 1. Memberikan rentang nilai 2. Nilai estimasi memberikan informasi mengenai seberapa dekat dengan parameter populasi yang tidak diketahui (memberikan informasi mengenai variabilitasnya) Dinyatakan dalam bentuk probabilitas 3. Contoh: Mean populasi yang tidak diketahui berada di antara 50 & 70 dengan tingkat keyakinan 95%

Eastimasi Titik dan Estimasi Interval Batas Kepercayaan Atas Batas Kepercayaan Bawah Estimasi Titik Lebar tingkat kepercayaan

Batas Kepercayaan untuk Mean Populasi Parameter = Statistik ± Error © 1984-1994 T/Maker Co.

Keterangan µx = mean populasi = s n X = mean sampel = simpangan baku populasi berdasarkan pengambilan beberapa sampel = _ s X n

Tingkat Keyakinan / Kepercayaan 1. Probabilitas bahwa parameter populasi berada dalam suatu interval 2. Notasi: (1 – a) a merupakan probabilitas bahwa parameter tidak berada dalam suatu interval 3. Nilai yang umum digunakan adalah: 99%, 95%, 90%

Interval & Tingkat Kepercayaan _ s x a /2 a /2 1 - a _ Notice that the interval width is determined by 1-a in the sampling distribution. X m = m ` x x Interval: ` `X - Zs`X hingga` `X + Zs`X x1 mX berada di interval (1 – a) mX tidak berada di interval a . x2

Faktor yang Mempengaruhi Lebar Interval 1. Penyebaran data 2. Ukuran sampel 3. Tingkat kepercayaan (1 - a)  mempengaruhi Z Interval: `X - Zs`X hingga`X + Zs`X Have students explain why each of these occurs. Level of confidence can be seen in the sampling distribution. © 1984-1994 T/Maker Co.

Estimasi Interval Kepercayaan Mean Proporsi Variansi s s x Populasi x Tidak Diketahui Diketahui Terbatas

Estimasi Interval Kepercayaan Mean dengan sX Diketahui 1. Asumsi Simpangan baku populasi diketahui Populasi terdistribusi secara normal Jika tidak normal, dapat diperkirakan dengan distribusi normal (n ³ 30) 2. Estimasi interval kepercayaan s s X X X - Z × £ m £ X + Z × a / 2 X a / 2 n n

Contoh: sebuah interval kepercayaan 95% z.025= -1.96 z.025= 1.96 z unit: Batas bawah kepercayaan Batas atas kepercayaan x unit: Estimasi Titik

Koefisien Kepercayaan, Tingkat kepercayaan yang sering digunakan adalah 90%, 95%, dan 99% Koefisien Kepercayaan, Tingkat Kepercayaan Nilai z, 80% 90% 95% 98% 99% 99.8% 99.9% .80 .90 .95 .98 .99 .998 .999 1.28 1.645 1.96 2.33 2.57 3.08 3.27

Error Error (e): jumlah yang ditambahkan dan dikurangkan pada estimasi titik untuk membentuk interval kepercayaan Contoh: error untuk mengestimasi μ dengan σ diketahui:

Faktor yang Mempengaruhi Error Interval: X - Z hingga X + Z  x x Variasi data, σ : e jika σ Ukuran sampel, n : e jika n Tingkat kepercayaan, 1 -  : e jika (1 - )

Penentuan Ukuran Sampel Ukuran sampel yang dibutuhkan dapat ditentukan agar mendekati error (e) dan tingkat kepercayaan (1 - ) yang diinginkan Ukuran sampel yang dibutuhkan, jika σ diketahui:

Contoh: Jika  = 45, berapa ukuran sampel yang dibutuhkan agar 90% yakin bahwa errornya adalah ± 5? Jadi ukuran sampel yang dibutuhkan adalah n = 220 (Selalu dibulatkan ke atas)

Contoh interval kepercayaan (1) Mean dari sebuah sampel acak terdistribusi normal dengan n = 25 adalah`X = 50. Buat sebuah estimasi interval kepercayaan 95% untuk mX jika sX = 10. s s X X X - Z × £ m £ X + Z × a / 2 X a / 2 n n 10 10 50 - 1 . 96 × £ m £ 50 + 1 . 96 × X 25 25 46 . 08 £ m £ 53 . 92 X

Contoh 2 11 sampel produk yang diambil dari populasi normal yang besar mempunyai mean berat 2.20 ons. Berdasarkan pengujian sebelumnya, simpangan bakunya diketahui sebesar 0.35 ons. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk mean berat sesungguhnya dari populasi Jawab:

Contoh 3 Anda seorang inspektur Q/C untuk perusahaan minuman. sX untuk botol 2 liter adalah 0.05 liter. Sebuah sampel acak dari 100 botol menunjukkan bahwa `X = 1.99 liter. Tentukan 90% estimasi interval kepercayaan untuk mean botol 2 liter 2 liter © 1984-1994 T/Maker Co.

Jawab: s s X - Z × £ m £ X + Z × n n . 05 . 05 1 . 99 - 1 . 645 × £ m / 2 X a / 2 n n . 05 . 05 1 . 99 - 1 . 645 × £ m £ 1 . 99 + 1 . 645 × X 100 100 1 . 982 £ m £ 1 . 998 X

Estimasi Interval Kepercayaan Mean dengan sX Tidak Diketahui 1. Asumsi Simpangan baku populasi tidak diketahui Populasi harus terdistribusi secara normal 2. Menggunakan distribusi t Student 3. Estimasi interval kepercayaan S S X - t × £ m £ X + t × a / 2 , n - 1 X a / 2 , n - 1 n n

Perkiraan untuk Sampel Besar Karena t mendekati z jika ukuran sampel bertambah besar, maka perkiraan untuk n  30: Secara Teknis Benar Perkiraan jika n besar

Distribusi t Student Z t Normal Standar Berbentuk lonceng t (df = 13) Simetrik Ekor ‘Lebih gemuk’ t (df = 13) t (df = 5) Z t

Tabel t Student .05 2 t a / 2 .05 2.920 Daerah Ekor Bagian Atas df .25 Jika: n = 3 df = n - 1 = 2 a = .10 a/2 =.05 Daerah Ekor Bagian Atas a / 2 df .25 .10 .05 Confidence intervals use a/2, so divide a! 1 1.000 3.078 6.314 2 0.817 1.886 2.920 .05 3 0.765 1.638 2.353 t 2.920

Derajat Kebebasan (df) Jumlah observasi yang bebas untuk diubah setelah statistik sampel dihitung Contoh: Jumlah 3 angka adalah 6 X1 = 1 (atau angka lain) X2 = 2 (atau angka lain) X3 = 3 (tidak dapat diubah) Jumlah = 6 degrees of freedom = n -1 = 3 -1 = 2

Contoh Estimasi Mean (sX Tidak diketahui) Sebuah sampel acak sebanyak n = 25 mempunyai`X = 50 & S = 8. Buat estimasi interval kepercayaan 95% untuk mX. S S X - t × £ m £ X + t × a / 2 , n - 1 X a / 2 , n - 1 n n 8 8 50 - 2 . 0639 × £ m £ 50 + 2 . 0639 × X 25 25 46 . 69 £ m £ 53 . 30 X

Do By Yourself (Not Assignment) Anda sedang melakukan penelitian waktu kerja di sebuah pabrik. Data waktu kerja yang Anda peroleh adalah: 3.6, 4.2, 4.0, 3.5, 3.8, 3.1 (menit) Anda yakin / percaya 90% berada di rentang berapakah mean populasi waktu kerja tersebut? Allow students about 20 minutes to solve.

Normal atau Distribusi t? Gunakan distirbusi normal dengan Jika  tidak diketahui, gunakan s . Yes Apakah n  30? No Apakah populasinya terdistribusi secara normal atau dapat diperkirakan terdistribusi secara normal? No Distribusi normal atau distribusi t tidak dapat digunakan. Yes Gunakan distribusi normal dengan Yes Is  diketahui? No Gunakan distribusi t dengan Dan derajat kebebasan n – 1.

Contoh: . a.) n = 50, distirbusi menceng, s = 2.5 Digunakan distirbusi normal karena ukuran sampel 50 b.) n = 25, distirbusi tidak simetris, s = 52.9 Tidak menggunakan distribusi apapun karena n<30 dan distirbusi tidak simetris c.) n = 25, the distribution is normal,  = 4.12 Digunakan distirbusi normal karena simpangan baku populasi diketahui walaupun < 30

Estimasi Interval Kepercayaan Proporsi 1. Asumsi Hasil hanya 2 kategori Populasi mengikuti distribusi Binomial Perkiraan normal dapat digunakan n·ps ³ 5 & n·(1 - ps) ³ 5 2. Estimasi interval kepercayaan p × ( 1 - p ) p × ( 1 - p ) s s s s p - Z × £ p £ p + Z × s s n n

Contoh 1 Sebuah sampel acak dari 400 produk menunjukkan bahwa 32 produk lolos uji. Buat sebuah estimasi interval kepercayaan 95% untuk p. p × ( 1 - p ) p × ( 1 - p ) s s s s p - Z × £ p £ p + Z × s a / 2 s a / 2 n n . 08 × ( 1 - . 08 ) . 08 × ( 1 - . 08 ) . 08 - 1 . 96 × £ p £ . 08 + 1 . 96 × 400 400 . 053 £ p £ . 107

Contoh 2 Sebagai seorang manager produksi Anda ingin mengetahui % cacat dari produk Anda. Dari 200 produk, ternyata 35 ditemukan cacat. Dengan estimasi interval kepercayaan 90% berapa proporsi populasi yang cacat?

ü Jawab p × ( 1 - p ) p × ( 1 - p ) p - Z × £ p £ p + Z × n n . 175 × n·p ³ 5 n·(1 - p) ³ 5 p × ( 1 - p ) p × ( 1 - p ) s s s s p - Z × £ p £ p + Z × s a / 2 s a / 2 n n . 175 × (. 825 ) . 175 × (. 825 ) . 175 - 1 . 645 × £ p £ . 175 + 1 . 645 × 200 200 . 1308 £ p £ . 2192

Ukuran Sampel yang Dibutuhkan pada Masalah Proporsi

Contoh Berapa ukuran sampel yang dibutuhkan agar Anda dapat melakukan estimasi terhadap proporsi cacat dengan error 3% dalam sebuah populasi yang besar jika tingkat kepercayaannya 95%? (Berdasarkan pengalaman diperoleh nilai p = .12)

Tingkat kepercayaan 95%, Z = 1.96 e = .03 p = .12 Jawab: Tingkat kepercayaan 95%, Z = 1.96 e = .03 p = .12 Dibulatkan n = 451

Estimasi untuk Populasi Terbatas Populasi terbatas merupakan sebuah populasi yang mempunyai batas atas yang tetap 1. Asumsi Sampel besar relatif terhadap populasi  n / N >0.05 2. Untuk populasi terbatas dengan jumlah objek N dan ukuran sampel n, maka perlu dibuat penyesuaian untuk error-nya

Interval kepercayaan untuk mean, dengan sX tidak diketahui Interval kepercayaan untuk proporsi S N - n S N - n X - t × × £ m £ X + t × × a / 2 , n - 1 X a / 2 , n - 1 n N - 1 n N - 1

Contoh Jumlah UKM di suatu daerah adalah 250. Sebuah sampel acak sebanyak 40 dari UKM tersebut menunjukkan bahwa mean penjualan per bulannya 450 dengan simpangan baku 75. Buat interval kepercayaan 90% untuk mean penjualan untuk seluruh UKM

Penentuan Ukuran Sampel untuk Populasi Terbatas Jika ukuran sampel adalah n0, maka: Pada estimasi interval mean: Pada estimasi interval proporsi: Sehingga ukuran sampel untuk populasi terbatas adalah: n = n0N / (n0 + (N-1))

Contoh n = n0N / (n0 + (N-1)) = (897 * 250) / (897 + (250-1)) Jumlah konsumen produk A di suatu daerah adalah sebanyak 250. Dari hasil survey sebelumnya diperoleh informasi bahwa 30% dari sampel acak yang diambil dari populasi tersebut menyukai produk A. Anda ingin melakukan estimasi proporsi populasi konsumen yang menyukai produk A dengan error 3% dan tingkat kepercayaan 95%. Berapa ukuran sampel yang harus Anda ambil datanya untuk survey Anda tersebut? n = n0N / (n0 + (N-1)) = (897 * 250) / (897 + (250-1)) = 189,6806 ≈ 190

Interval Prediksi 1. Digunakan untuk melakukan estimasi nilai X secara individu 2. Tidak digunakan untuk melakukan estimasi parameter populasi yang tidak diketahuhi 3. Estimasi interval prediksi

Contoh Sebuah sampel acak sebanyak n = 25 mempunyai`X = 50 & S = 8. Buat estimasi interval prediksi untuk nilai X berikutnya dengan tingkat kepercayaan 95% 50 - (2.064)(8) (1.0198) £ Xf £ 50 + (2.064)(8) (1.0198) 48.9802 £ Xf £ 51.0198