KALKULUS 1 BY : DJOKO ADI SUSILO

SISTEM BILANGAN REAL Jika x adalah anggota himpuan bilangan real, maka |x| 0. Perkalian mempertahankan sifat nil;ai mutlak. Pada nilai mutlak berlaku sifat ketaksamaan segitiga. Jika a adalah bilangan real positif, maka |x|<a jika dan hanya jika -a<x<a |x|>a jika dan hanya jika x<-a atau x>a. Pada notasi |x-a| <  |f(x)-L|<, nilai =() adalah nilai delta terbesar yang diperbolehkan agar implikasi itu menjadi benar. Jika x dan y adalah bilangan real maka |x| <|y| jika dan hanya jika x2<y2. Pada himpunan bilangan real berlaku sifat trikotomi, sehingga tiap dua bilangan real senantiasa dapat dibandingkan. Operasi pada himpunan bilangan real mempertahankan sifat urutan. Warning: Jika a<b dan c<d maka tidak benar bahwa a-c<b-d

GRAFIK FUNGSI Fungi f dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan tiap-tiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Himpunan A selajutnya disebut sebagai daerah asal dan himpunan B disebut daerah kawan. Himpunan semua anggota B yang merupakan peta atau bayangan dari unsur A disebut himpunan nilai fungsi f dan disebut jelajah fungsi f. Jika fungsi f memetakan sebagian saja anggota A ke himpunan B maka daerah asal dari f dikatakan daerah asal alamiah. Pada notasi y=f(x), x dikatakan peubah bebas dan y dikatakan peubah terikat. Jika pasangan koordinat (x,f(x)) digambar pada bidang XY maka kita peroleh grafik fungsi y=f(x). Ciri khas dari suatu grafik fungsi y=f(x) adalah, jika kita menggambar garis sejajar sumbu Y dan garis itu memotong grafik fungsi y=f(x) maka titik potongnya tunggal. Grafik suatu persamaan adalah himpunan titik yang pasangan koordinatnya mengakibatkan persamaan kurva itu menjadi kesamaan. Jika dua grafik mempunyai titik sekutu maka kedua grafik itu dikatakan berpotongan. Jika suatu persamaan memuat hanya satu peubah maka grafik persamaan itu berupa titik. Jika suatu persamaan memuat lebih dari satu persamaan, maka grafik persamaan itu berupa kurva atau permukaan.

Sifat dasar Fungsi Trigonometri: DAERAH ASAL FUNGSI Pada pengoperasian suatu fungsi, yang dioperasikan adalah nilai-nilai fungsi di titik yang sama. Oleh karena itu jika h=f*g, maka daerah asal h adalah irisan dari daerah asak f dan g. Jika fungsi f memetakan x ke f(x) kemudian fungsi g memetakan f(x) ke g(f(x)) maka terbentuk fungsi baru h yang disebut komposisi g dengan f dan ditulis gf. Jadi h(x)= (gf)(x)=g(f(x)). Daerah asal dari gf adalah himpunan {xDf| f(x) Dg}. Pada suatu lingkaran satuan, jika P(x,y) adalah titik pada lingkaran yang ditentukan oleh sudut t, maka y=sin t dan x=cos t. Fungsi-fungsi ini disebut fungsi trigonometri. Sifat dasar Fungsi Trigonometri: -1sin t 1 dan -1cos t 1 untuk semua bilangan real t Fungsi trigonometri bersifat periodik. Pada suatu lingkaran yang berjari-jari r, panjang busur yang menghadap sudut t radian adalah s=rt.

PENGERTIAN LIMIT Secara intuisi notasi limxcf(x)=L mempunyai arti bahwa jika x cukup dekat ke c tetapi berbeda dengan c maka f(x) sangat dekat ke L. Secara serupa, notasi limxc- f(x)=L mempunyai arti bahwa jika x dekat ke c dari kiri c maka f(x) dekat ke L. Limit ini dikatakan sebagai limit kiri dari f di c. Fungsi f mempunyai limit di c jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanannya di c sama. Limit fungsi f di titik c ditulis limxcf(x)=L, mempunyai arti jika diberikan >0 berapapaun kecilnya, senantiasa ditemukan >0 yang memenuhi 0<|x-c|<  |f(x)-L|<. Notasi 0<|x-c| menegaskan bahwa tidak dipermasalah nilai fungsi f di x=c, dan |x-c|< menegaskan bahwa yang diperhatikan hanya untuk x yang sangat dekat dengan c. Dari definisi ini juga dapat ditangkap bahwa jika ada bilangan  > 0 sedemikian untuk setiap > 0 ada x sedemikian 0<|x-c|< tetapi |f(x)-L|   maka dikatakan L bukan limit dari f di x=c.

Jika fungsi f mempunyai limit di x=c maka limitnya tunggal Jika fungsi f mempunyai limit di x=c maka limitnya tunggal. Dari pernyataan ini dapat disimak kembali bahwa, jika dengan pendekatan yang berbeda terhadap c nilai fingsi f menuju ke dua nilai yang berbeda, maka fungsi f dikatakan tidak mempunyai limit di c. Jika nilai fungsi f menuju L jika x menuju c dari kanan c maka dikatakan L adalah limit kanan dari f di c. Secara persis dikatakan bahwa limxc+ f(x)=L jika untuk setiap  > 0 ada  sedemikian hingga 0<x-c<   |f(x)-L|<. Jika f dan g adalah dua fungsi yang masing-masing mempunyai limit di c dan  dan  adalah bilangan real mak limxc (f(x)+ g(x)=  limxc f(x) +  limxc g(x). 2. limxcf(x)g(x)= limxcf(x) limxc g(x). Fungsi polinom mempunyai limit di setiap bilangan real c. Jika h adalah suatu fungsi sedemikian hingga fhg dan limxc f(x) = limxc g(x) =L maka limxc f(x) =L. Warning: Ada fungsi f dan g yang masing-masing tidak mempunyai limit di c tetapi jumlahnya mempunyai limit di c hasil kalinya mempunyai limit di c.

TURUNAN TURUNAN Konsep turunan banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri, mekanika, ekonomi dan berbagai masalah nyata lainnya. Secara geometri, konsep ini mempunyai tafsiran gradien garis singgung kurva di suatu titik. Sedangkan dalam mekanika, kon­sep turunan mempunyai tafsiran sebagai laju perubahan atau kecepatan. Situasi dari berbagai masalah tentang laju gerak partikel pada suatu saat dan laju pertumbuhan atau laju peluruhan juga dapat dijelaskan dengan baik oleh konsep ini. Pada ekonomi konsep turunan dipergunakan untuk memperhitungkan rugi atau laba

Grafik fungsi y dapat dilihat pada gambar di disamping: Turunan Pertama Di Suatu Titik CONTOH Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus (dikenal dengan gerak rektilinier). Untuk mudahnya, kita misalkan sumbu X sebagai arah gerak partikel dan sumbu Y sebagai posisi pada saat t satuan waktu yang ditentukan oleh y = f (t). Diasumsikan y kontinu untuk sebarang t ≥ 0. Grafik fungsi y dapat dilihat pada gambar di disamping:

Masalahnya, bagaimana menentukan kecepatan partikel pada saat t = t0 Masalahnya, bagaimana menentukan kecepatan partikel pada saat t = t0? Kecepatan rata-rata partikel, ditulis vrata-rata, pada selang waktu [t0, t] ditentukan sebagai laju perubahan jarak terhadap perubahan waktu, yaitu Kecepatan sesaat pada t = t0? , ditulis v (t0) , ditentukan sebagai limit dari kecepatan rata-ratanya pada selang waktu sebarang yang cukup kecil (misalnya [t0, t]) , yaitu Definisi 1 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan a  I. Turunan pertama f di a, ditulis f’ (a) , didefinisikan sebagai Bila limitnya ada

Jika fungsi f mempunyai turunan di a, kita katakan bahwa f terdeferensial di a. Situasi dari f’ (a) diperlihatkan pada gambar berikut Dengan menuliskan x = a + h, atau h = x - a jika x menuju a maka h akan menuju 0, sehingga turunan pertama f di a, dapat juga dituliskan sebagai Bila limitnya ada Secara geometri, f’ (a) diartikan sebagai gradien garis singgung kurva di a yang tidak sejajar dengan sumbu Y.

TURUNAN SEPIHAK Definisi 2 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, a]. Turunan kiri f di a, ditulis f’ (a) , didefinisikan sebagai asalkan limitnya ada Teorema 1 Jika fungsi f terdefinisi pada selang buka I, dan a ­ I, maka f’ (a) ada jika dan hanya jika f’_ (a) dan f + (a) keduanya ada dan sama. Dengan kata lain f’ (a) ada jika dan hanya jika f’_ (a) = f’ + (a) = f’ (a).

Hubungan Kekontinuan Dan Turunan Contoh :Misalkan g (x) = Apakah fungsi g terdeferensialkan di 3 ? Penyelesaian Perhatikan Sedangkan g/ + (3) = Karena g/_ (3) = 2 dan g/ + (3) = -1, berarti g/_ (3) ≠ g/ + (3) sehingga g/ (3) tidak ada. Teorema 2 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan a  I. Jika f’ (a) ada, maka fungsi f kontinu di a. Contoh : Perhatikan bahwa fungsi f (x) = |x| kontinu di 0 (buktikan!). Tetapi f’ (0) = -1 dan f’ (0) = 1 (buktikan). Karena f’_ (0) ≠ f’ +. (0) , maka f’ (0) tidak ada

Dxf (x) , f (x) , y/, y/ (x) , , Dxy Definisi 3 Misalkan fungsi f didefinisikan pada selang buka I. Fungsi turunan dari fungsi f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada I0  I dan nilainya ditentukan oleh Lambang lain untuk menuliskan turunan fungsi f pada sebarang titik x adalah Dxf (x) , f (x) , y/, y/ (x) , , Dxy Lambang f (x) , dikenal sebagai notasi Leibniz

Turunan Pada Suatu Selang Definisi 4 Fungsi f dikatakan mempunyai turunan pada selang buka I jika f’ (x) ada untuk semua x  I. Jika I = [a, b] maka fungsi f mempunyai turunan di I jika f’ (x) ada untuk semua x  (a,b) dan f / + (a) serta f /_ (b) ada Contoh 8 Tentukan turunan fungsi f /jika f (x) = , x ≥ 0. Kasus x > 0, f’ (x) = Kasus x = 0, f’ (0) = Jadi f’ (0) tidak ada. Dengan demikian fungsi f mempunyai turunan hanya untuk x > 0 dengan fungsi turunan adalah f’ (x) = Sedangkan jika x = 0 maka f’ (0). Dengan notasi matematis pernyataan ini dapat disajikan secara lengkap sebagai f’ (x) = , x > 0 jika f (x) = 3x. 

Fungsi Turunan Pertama Pada Suatu Selang Fungsi Turunan Pada Suatu Selang Definisi 5 Misalkann fungsi f terdefinisi pada selang buka I. Fungsi turunan pertama dari f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada Io C I dan nilainya ditentukan oleh Definisi 6 Fungsi f dikatakan mempunyai turunan pada selang buka I, jika f’ (x) ada, untuk semua x  I. Dalam hal I = (a, b], f’ (a) berarti f + (a) dan f’ (b) diartikan sebagai f’_ (b). jika limitnya ada

Aturan Pencarian Turunan Teorema 3 Dx (sinx) = cosx Dx (cos x) = -sin x Dx (tan x) = sec x Dx (cot x) = - csc x , Dx (sec x) = sec xtan x Dx (csc x) = - csc x cot x Teorema 5 Jika f (x) = x, maka f’ (x) = 1. Teorema 6 Jika f (x) = axn, n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’ (x) = anxn-1. Teorema 7 Jika k: suatu konstanta dan f suatu fungsi yang dapat dideferensialkan, maka (k f) ' (x) = k. f’ (x). Teorema 4 Jika f (x) = k, dengan k suatu konstanta, maka untuk semua bilangan real x, berlaku f’ (x) = 0.

Teorema 11 Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan dan g (x) ≠ 0, maka Teorema 8 Jika f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka (a f + βg) ' (x) = a f’ (x) + βg' (x). Teorema 9 Jika f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka (f – g) ' (x) = f’ (x) – g' (x). Teorema 12 Jika f (x) = sin x dan g (x) = cos x, maka f’ (x) = cos x dan g ‘(x) = - sin x. Teorema 10 Jika f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka (f.g) ' (x) = f (x).g' (x) + g (x).f’ (x).

Aturan Rantai dalam notasi Leibniz, adalah sebagai berikut Turunan Fungsi invers Aturan Rantai dalam notasi Leibniz, adalah sebagai berikut Teorema 14 Misalkan fungsi f : I → f (I)  R, y = f (x) kontinu dam monoton naik (turun) pada selang I dan inversnya adalah fungsi f -1 : f (1) → 1, x = f -1 (y). Jika y' = f (x) ada pada selang I dan f (x) ≠ 0, maka fungsi f -1 mempunyai turunan pada f (I) yang juga kontinu dan monoton naik (turun) pada f (I) dengan Jika y = f (u) , u = g (v) , v = h (w) dan w = p (x) , maka notasi Leibniz dari Aturan Rantai ini adalah: atau (f-1 (y)) =

Turunan Fungsi Parameter Aturan Rantai dalam Notasi Leibniz Turunan Fungsi Parameter Andaikan bahwa y = f (u) dan u = g (x). Aturan Rantai dalam notasi Leibniz, adalah sebagai berikut Aturan Rantai dalam notasi Leibniz, adalah sebagai berikut Teorema 16 Misalkan menyatakan y sebagai fungsi implisit dari x. Jika fungsi x = f (t) dan y = g (t) mempunyai turunan terhadap t, maka fungsi y mempunyai turunan terhadap x dengan Jika y = f (u) , u = g (v) , v = h (w) dan w = p (x) , maka notasi Leibniz dari Aturan Rantai ini adalah: ≠ 0, t  D

Turunan Fungsi Transenden Turunan Fungsi LOgaritma (ex) = ex (ax) = axln a secara umum, fungsi turunan ke-n dari fungsi f ditulis dengan lambang f (n) dan didefinisikan sebagai fungsi turunan f (n-1) , dan untuk n = 1, f (o) = f. Lambang lain untuk nilai f (n) (x) adalah Turunan Tingkat Tinggi

PENGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Definisi 7 Jika A daerah asal f yang memuat c, maka: 1. f (c) merupakan nilai maksimum f pada A jika f (c) ≥ f (:e) untuk semua x  A. 2. f (c) merupakan nilai minimum f pada A jika f (c) < f (x) untuk semua x  A. 3. f (c) merupakan nilai ekstrim f pada A jika f (c) merupakan nilai maksimum atau merupakan nilai minimum. Maksimum dan Minimum Jika f (c) merupakan nilai ekstrim f, maka dikatakan f mencapai ekstrim di x = c. Definisi 8 Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c. jika f ' (c) = 0, (c, f (c)) disebut titik stasioner, jika f ' (c) tidak ada, (c, f (c)) disebut titik singular.

Kemungkinan Letak Nilai Ekstrim Nilai ekstrim mungkin terjadi pada titik stasioner (Gambar (a)) atau pada titik singular (Gambar (b)) atau pada titik ujung (Gambar (c)). Teorema 18 (teorema titik kritis). Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c. Jika f (c) nilai ekstrim, maka (c, f (c)) titik kritis, yaitu (c, f (c)) meru­pakan titik stationer f atau 2. titik singular f atau 3. titik ujung I. Definisi 9 Titik-titik pada domain fungsi f yang merupakan titik stasiorler, titik sin­gular atau titik ujung f, disebut titik kritis f.

Kemonotonan dan Kecekungan Definisi 10 Misalkan f ngsi f terdefinisi pada selang I. Fungsi f disebut naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1, x2  I dan x1 < x2 berlaku f (x1) < f (x2). Fungsi f disebut turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1, x2  I dan x1 < x2 berlaku f (x1) > f (x2). Fungsi f disebut monoton murni pada I jka f naik atau turun pada 1. Contoh 39 Fungsi f dengan domain D [0, 2] didefinisikan sebagai Kemonotonan dan Kecekungan Teorema 19 (Teorema Kemonotonan) Misalkan f kontinu pada selang [a, b] dan terdeferensialkan pada (a, b). 1. Jika f’ (x) > 0 untuk semua x  (a, b) , maka f naik pada [a, b]. 2. Jika f’ (x) < 0 untuk semua x  (a, b) , maka f turun pada [a, b]. Definisi 11 Misalkan f diferensiabel pada selang buka I = (a, b). Fungsi f dikatakan cekung ke atas pada I jika f’ naik pada I dan dikatakan cekung ke bawah pada I jika f’ turun pada I.

Definisi 13 Misalkan S memuat titik c, dikatakan bahwa: Teorema 21 Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Relatif Misalkan f kontinu pada selang buka (a, b) dan c  (a, b) I 1. Jika f’ (x) > 0 untuk semua x  (a, c) dan f’ (x) < 0 untuk semua x  (c, b) maka f (c) adalah nilai maksimum relatif f pada (a, b). 2. Jika f’ (c) < 0 untuk semua x  (a, c) dan f’ (x) > 0 untuk semua x  (c, b) maka f (c) adalah nilai minimum relatif f pada (a, b). 3. Jika f (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim relatif f. Definisi 13 Misalkan S memuat titik c, dikatakan bahwa: f (c) nilai maksimum relatif f pada S jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai maksimum f pada (a, b)  S. f (c) nilai minimum relatif f pada S jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai minimum f pada (a, b)  S f (c) nilai ekstrim relatif f pada jika f (c) nilai maksimum relatif atau minimum relatif.

Maksimum dan Minimum Lokal Teorema 20 (Teorema Kecekungan) Misalkan f terdiferensialkan dua kali pada (a, b). 1. Jika f" (x) > 0 untuk semua x E (a, b) , maka f cekung ke atas pada (a, b). 2. Jika f" (x) < 0 untuk semua x E (a, b) , maka f cekung ke bawah pada (a, b). Maksimum dan Minimum Lokal Nilai dapat dipandang sebagai nilai maksimum global atau nilai maksimum mutlak dari f. Jika fungsi f yang terdefinisi pada S = [a, b] grafiknya seperti gambar di bawah ini, maka f (a) merupakan nilai maksimum mutlak. Definisi 12 Misalkan f kontinu di c. Titik (c, f (c)) disebut titik balik grafik f, jika f mengalami perubahan kecekungan di sekitar c.

Definisi 13 Misalkan S memuat titik c, dikatakan bahwa: 1. f (c) nilai maksimum relatif f pada S jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai maksimum f pada (a, b)  S. 2. f (c) nilai minimum relatif f pada S jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai minimum f pada (a, b)  S 3. f (c) nilai ekstrim relatif f pada jika f (c) nilai maksimum relatif atau minimum relatif. Teorema 21 Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Relatif Misalkan f kontinu pada selang buka (a, b) dan c  (a, b) I Jika f’ (x) > 0 untuk semua x  (a, c) dan f’ (x) < 0 untuk semua x  (c, b) maka f (c) adalah nilai maksimum relatif f pada (a, b). 2. Jika f’ (c) < 0 untuk semua x  (a, c) dan f’ (x) > 0 untuk semua x  (c, b) maka f (c) adalah nilai minimum relatif f pada (a, b). 3. Jika f (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim relatif f.

Tempat-Tempat Terjadinya Nilai Ekstrim Relatif

Penggambaran Grafik Canggih Langkah-langkah penggambaran grafik : Buat analisis pendahuluan yang meliputi. Periksa daerah asal dan daerah nilai fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan. Periksa keistimewaan terhadap sumbu y dan titik asal (apakah fungsi gan­jil, genap, fungsi periodik atau keistimewaan lain jika ada). 4. Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat. 5. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk menge­tahui tempat-tempat grafik naik dan turun. 6. Uji titik-titik kritis itu untuk menentukan jenisnya (mak/min). 7. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui kecekungan grafik sehingga titik balik dapat dilokalisir. 8. Tentukan garis asimptutnya. 9. Gambarkan semua titik kritis dan titik balik serta beberapa titik pembantu. 10. Hubungkan semua titik-titik itu sehingga diperoleh sketsa grafiknya.

TERIMA KASIH