Bab 2 AKAR – AKAR PERSAMAAN

Pendahuluan Beberapa metode untuk mencari akar-akar suatu persamaan. Untuk polinomial derajat dua Misalkan bentuk persamaan : Dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan rumus berikut : a x2 + b x + c = 0

Untuk polinomial derajat tiga atau empat Untuk polinomial berderajat tiga atau lebih, atau fungsi-fungsi transenden, bahkan fungsi yang merupakan hasil dari suatu aplikasi, sangat jarang diperoleh hasilnya (solusinya) secara analitis. Contoh : f(x) = x3 + 4x2 + x - 6 = 0 f(x) = x5 + 2x4 +3x3 +4x2 -3x-1 = 0 f(x) = ex -3x = 0 f(x) = 3x + sin x – ex = 0 dan sebagainya

Bentuk persamaan-persamaan seperti tersebut diatas sulit bahkan tidak mungkin diselesaikan secara analitis Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati penyelesaian eksak. Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi). Dengan melakukan sejumlah iterasi yang dianggap cukup akhirnya di dapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan. Metode ini merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan. Dalam metode numerik, pencarian akar f(x)=0 dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, semua metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi 2 golongan besar :

1. Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method) Metode yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang [a,b]. Selang [a,b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan kata lain, lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen. Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain : Metode Biseksi atau Metode Setengah Interval Metode Regula Falsi atau Metode Interpolasi Linier

2. Metode terbuka Yang diperlukan pada metode ini, adalah tebakan awal akar, lalu dengan prosedur lelaran, kita menggunakannya untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada setiap lelaran, hampiran akar lama yang dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen. Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain : Metode Newton Raphson Metode Secant Metode Iterasi

Metode Biseksi Metode Biseksi atau Metode Setengah Interval merupakan bentuk paling sederhana diantara beberapa metode yang akan dipelajari. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan dengan metode biseksi adalah sebagai berikut : Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), yaitu f(xn) . f(xn+1) < 0 Estimasi pertama dari akar xt dihitung dengan

Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval mana akar persamaan berada : f(xn).f(xt) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, kemudian tetapkan xn+1 = xt dan lanjutkan pada langkah ke-4 f(xn).f(xt) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian tetapkan xn = xt dan lanjutkan pada langkah ke-4 f(xn).f(xt) = 0, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai

Hitung perkiraan baru dari akar dengan Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan ), maka hitungan selesai, dan xt adalah akar persamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembali ke langkah ke-3

Contoh :  

Mengingat fungsi adalah kontinu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x1 = 1 dan x2 = 2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan. Dihitung nilai xt , dan kemudian dihitung fungsi f(xt) f(xt) = f(1,5) = (1.5)3 + (1,5)2 – 3(1,5) – 3 = -0,01831

Oleh karena fungsi berbeda tanda antara x = 1,5 dan x = 2, maka akar terletak diantara kedua nilai tersebut. Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya sehingga interval yang dihasilkan akan semakin kecil, yang merupakan letak dari akar persamaan yang dicari.

Prosedur hitungan tersebut ditunjukkan pada tabel berikut :

Latihan  

Metode Regula Falsi ( Metode Interpolasi Linier ) Metode biseksi adalah mudah tapi tidak efisien. Untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi yang cukup panjang. Metode Regula Falsi dapat menutup kekurangan itu. Metode Regula Falsi didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan dengan metode Regula Falsi adalah sebagai berikut : Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), yaitu f(xn) . f(xn+1) < 0 Mencari nilai x* dengan persamaan :

Nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai f(x Nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai f(x*), yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(xn) atau f(xn+1) sedemikian sehingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda. Prosedur diulang lagi sampai didapat nilai f(x*) mendekati nol

Contoh : Penyelesaian : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 Hitung salah satu akar dari persamaan : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Regula Falsi Penyelesaian : Seperti dalam metode biseksi , langkah pertama adalah menghitung nilai f(x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda. Untuk x1 =1 maka f(x1) = f(1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = -4 Untuk x2 =2 maka f(x2) = f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3

Dengan menggunakan rumus : f( x*) = f(1,57142) = (1,57142)3 + (1,57142)2 – 3(1,57142) – 3 = -1,36449

Selanjutnya dihitung nilai x* Karena f(x*) bertanda negatif maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x = 2. Selanjutnya dihitung nilai x* f(x*)=f(1,70540) = (1,70540)3 + (1,70540)2 – 3(1,70540) – 3 = -0,24784

Prosedur hitungan seperti diatas dilanjutkan sampai akhir didapat nilai f(x )≈ 0. Dan ditunjukkan dalam tabel dibawah ini : Jumlah iterasi x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3) 1 1,0 2,0 1,57142 -4,0 3,0 -1,36449 2 1,70540 -0,24784 3 1,72788 -0,03936 4 1,73140 -0,00615 5 1,73194