VEKTOR

Vektor dan Skalar Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar(nilai) dan mempunyai arah misalnya : pergeseran, kecepatan,percepatan, medan listrik-magnet dsb. Besaran Skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar(nilai) saja misalnya massa, temperatur, kerja, energi dsb. Vektor biasanya ditulis dalam huruf TEBAL (D) atau diberi tanda panah di atas huruf ( ) Besar vektor dinyatakan dengan atau cukup D saja Sifat-sifat vektor : Dapat dipindahkan Dapat dioperasikan

Representasi Vektor Representasi vektor secara grafis Representasi vektor secara analitik dilakukan dengan menyebutkan nilai dan arah Contoh : # Kecepatan mobil besarnya 60 km/jam ke arah timur # Sebuah gaya sebesar 40 Newton membentuk sudut 45o dengan garis vertikal P Keterangan: Arah anak panah menyatakan arah vektor Panjang anak panah sebanding dengan nilai vektornya Titik pangkal vektor (P) disebut sebagai titik tangkap vektor

Representasi vektor dalam ruang 3D (Koordinat kartesian)    Ay Ax Az y z x Vektor A dituliskan sebagai: atau Vektor î, ĵ dan adalah vektor satuan yang panjangnya satu dalam arah x, y, z

   Ay Ax Az y z x Panjang vektor Arahnya ditentukan oleh sudut yang dibentuk vektor terhadap ketiga sumbu koordinat

Operasi Dasar Vektor Perkalian dengan skalar Vektor B adalah sebuah vektor yang panjangnya |m| dikali vektor A Arah vektor B sama bila m positif, berlawanan bila m negatif Jika m = 0, diperoleh vektor nol yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu Ā Ē=Ā ½Ā -Ā -1½Ā Dalam notasi komponen perkalian vektor dengan skalar dinyatakan

Penjumlahan Vektor Terdapat tiga metode untuk menjumlahkan vektor, yaitu: Metode jajaran genjang Metode segi banyak (poligon) Metode analitis

Metode Jajaran Genjang Di ujung vektor ū, gambarlah garis yang sejajar ā ā Ē ū ū Metode Jajaran Genjang Di ujung vektor ū, gambarlah garis yang sejajar vektor ā; (2) Di ujung vektor ā, gambarlah garis yang sejajar vektor ū, perhatikan kedua garis yang digambar harus bertemu pada suatu titik (titik A) (3) Hubungkan titik pangkal vektor ke titik A, akan didapatkan resultan dari kedua vektor tersebut, yaitu Ē

Metode Segi Banyak (Poligon) ā ā Ē ū O ū Metode Segi Banyak (Poligon) Gambarlah vektor ū dengan titik pangkal O; (2) Pindahkan vektor ā ke ujung vektor ū (3) Hubungkan titik pangkal vektor O ke ujung vektor ā, didapatkan resultan dari kedua vektor tersebut, yaitu Ē

Resultan atau besar vektor diberikan oleh persamaan dengan: a = besar vektor a b = besar vektor b  = sudut yang dibentuk antar kedua vektor (sudut apit) R = besar resultan dari dua buah vektor Kasus khusus : (1) Bila sudut apit = 0o besar vektor ditulis R = (a + b) (2) Bila sudut apit = 90o besar vektor ditulis R = √(a2 + b2) (3) Bila sudut apit = 180o R = a – b bila a > b R = b – a bila b > a Resultannya akan searah dengan vektor terbesar Besar resultan anatar dua buah vektor mencapai harga terbesar bila kedua vektor searah, dan mencapai harga terkecil bila vektor berlawanan arah

Metode Analitis (1). Uraikan setiap vektor atas komponen sumbu-x dan sumbu-y (2). Hitung besar komponen-komponen tersebut dengan persamaan Ry R R Rx O (3). Jumlahkan komponen-komponen vektor pada sumbu X dan sumbu Y (4). Hitung besar dan arah resultan vektor dengan dalil phytagoras

Pengurangan Vektor Mengurangkan dua buah vektor ā = ē – ī sama saja dengan menjumlahkan vektor ā = ē + (– ī) Sifat-sifat sebagai berikut berlaku bagi operasi dasar vektor : 1. Hukum komutatif bagi penjumlahan 2. Hukum asosiatif bagi penjumlahan 3. Hukum komutatif bagi perkalian dg skalar 4. Hukum asosiatif bagi perkalian dg skalar 5. Hukum distributif 6. Hukum distributif

Diketahui Tentukan besarnya : a.) b.) Maka, c.) ???????????? ( Kerjakan !!)

Diketahui Carilah skalar – skalar a, b, c, jika ???????????? ( Kerjakan !!)

Perkalian Antar Vektor Perkalian antar vektor terbagi atas tiga, yaitu: Perkalian titik (dot product) (Skalar) Perkalian silang (cross product) (Vektor)

Perkalian titik didefinisikan sebagai  adalah sudut yang diapit oleh kedua vektor.  A B Hasil kali perkalian titik bersifat skalar bukan vektor. Bila dinyatakan dalam komponen hasil kali perkalian titik dituliskan :

Secara geometri, perkalian titik mengandung arti proyeksi. Proyeksi vektor B pada A adalah Apabila adalah berturut-turut vektor satuan dalam arah sumbu x,y,z maka komponen-komponen suatu vektor Ā dapat dituliskan

Perkalian titik dapat digunakan untuk mencari nilai sudut θ antara dua vektor Sifat-sifat perkalian titik 1. (hukum komutatif) 2. (hukum distributif) 3. 4. 5. 6.

(b). Perkalian silang Perkalian silang dikatakan juga sebagai perkalian vektor karena hasil dari perkalian berupa vektor Θ adalah sudut apit yang dibentuk antar dua buah vektor adalah vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh kedua vektor arah vektor satuan mengikuti gerak sekrup yang berputar dari A ke B θ

Dalam komponen perkalian silang dituliskan aturan perkalian silang : bila searah jarum jam bernilai positif bila berlawanan jarum jam bernilai negatif contoh : - + i j k

Sifat - sifat perkalian silang 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Hukum – hokum yang berlaku : Hasil Kali Tripel Hasil kali titik dan silang dari tiga buah vector A, B, dan C dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk – bentuk berikut Hukum – hokum yang berlaku : 1. 2. 3. 4.

Contoh Soal 1. Tentukan sudut yang dibentuk antara vektor-vektor : dan Solusi

(Hasil Kali Silang) 2. Jika dan Tentukan Solusi : b. ??????????? (Kerjakan !!!) (Hasil Kali Silang)

(Hasil Kali Tripel) 3. Jika Tentukan Solusi : (Dengan menggunakan rumus Determinan) (Hasil Kali Tripel)

Diferensial Vektor

V(t) = Vx(t) i + Vy(t) j + Vz(t) k DIFERENSIAL VEKTOR   Fungsi Vektor Jika untuk setiap nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor V, maka V dinamakan suatu fungsi dari t dan dinyatakan dengan V(t). Dalam tiga dimensi kita menulis : V(t) = Vx(t) i + Vy(t) j + Vz(t) k Suatu vektor fungsi t secara grafik dilukiskan sebagai lengkung dalam ruang, yaitu : z t2 P(R, Y, Z) y t1 y x

Turunan Fungsi Vektor Turunan dari vektor fungsi V = V(t) didefinisikan sebagai limit :   Dalam gambar berikut dapat dijelaskan sbb : P1 V (t+Δt) ΔV o P(x,y,z)

Jika lim V/t = dV/dt ada , maka limitnya akan berupa sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z) dan dinyatakan sebagai : Jika lim V/t = dV/dt ada , maka limitnya akan berupa sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z) dan dinyatakan sebagai :   dV/dt = dVx/dt i + dVy/dt j + dVz/dt k Rumus Diferensial : 1. d(A+B)/dt = dA/dt + dB/dt 2. d(AB)/dt = dA/dt  B + A  dB/dt 3. d(AxB)/dt = dA/dt x B + A x dB/dt 4. d(A)/dt = dA/dt  +  dA/dt 5. d(ABxC)/dt = dA/dt  BxC + A  dB/dt x C + A  B x dC/dt 6. d(Ax(BxC))/dt = dA/dt x (BxC) + A x (dB/dt x C) + A x (B x dC/dt)

Contoh Soal : Bila sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan parameternya adalah : x = e-t , y = 2 cos 3t dan z = 2 sin 3t dalam t waktu, maka : Tentukan kecepatan dan percepatan pada setiap saat ! Hitung besar kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0 ! Jawab : a. Vektor posisi r dari partikel adalah : r = x i + y j + z k r = e-t i + 2 cos 3t j + 2 sin 3t k Kecepatan V = dr/dt = -e-t i – 6 sin 3t j + 6 cos 3t k Percepatan a = dV/dt = e-t i - 18 cos 3t j – 18 sin 3t k   b. Untuk t = 0 maka V = -i + 6k V = (-1)2 + 62 = 37 dan a = i – 18 j a = (1)2 + (-18)2 = 325

Turunan Parsial Vektor Jika sebuah vektor yang bergantung lebih dari pada satu variabel skalar, misal x,y dan z yang ditulis : Turunan parsial terhadap x,y dan z jika limitnya ada, didefinisikan:

Untuk turunan yang lebih tinggi didefinisikan sbb.:

Aturan-aturan untuk turunan parsial dari vektor-vektor mirip dengan yang dipergunakan dalam kalkulus elementer dari fungsi- fungsi skalar. Jadi jika dan adalah fungsi-fungsi dari x,y dan z, maka : 1. 2. 3. Contoh: 1. Jika A=(2x2y-x4)i + (exy – y sin x)j + (x2cos y)k tentukan :

Contoh Soal : Jika A=(2x2y-x4)i + (exy – y sin x)j + (x2cos y)k tentukan : jawab :