KALKULUS II Integral Tentu (Definite Integral) Dosen Pengampu : GUNAWAN.ST.,MT

Notasi Sigma dan Limit Terhingga Notasi sigma digunakan untuk menulis jumlah banyak bentuk yang padat berurutan. 𝑘=1 𝑛 𝑎 𝑘 = 𝑎 1 + 𝑎 2 +…+ 𝑎 𝑛 Contoh : 1. 𝑘=1 5 𝑘 =1+2+3+4+5=15 2. 𝑘=1 3 (−1) 𝑘 𝑘 = (−1) 1 1+ (−1) 2 2+ (−1) 3 3 =−1+2−3=−2 3. 𝑘=1 2 𝑘 𝑘+1 = 1 1+1 + 1 2+1 = 1 2 + 1 3 = 7 6

Aturan Aljabar penjumlahan Hingga Aturan Penjumlahan : 𝑘=1 𝑛 ( 𝑎 𝑘 + 𝑏 𝑘 ) = 𝑘=1 𝑛 𝑎 𝑘 + 𝑘=1 𝑛 𝑏 𝑘 Aturan Pengurangan : 𝑘=1 𝑛 ( 𝑎 𝑘 − 𝑏 𝑘 ) = 𝑘=1 𝑛 𝑎 𝑘 − 𝑘=1 𝑛 𝑏 𝑘 Aturan Perkalian Konstanta : 𝑘=1 𝑛 𝑐. 𝑎 𝑘 =𝑐 𝑘=1 𝑛 𝑎 𝑘 Aturan Nilai Konstan : 𝑘=1 𝑛 𝑐 =𝑛.𝑐

Jika semua 𝑛 subinterval memiliki lebar yang sama, maka secara umum ∆𝑥= (𝑏−𝑎) 𝑛 . Pada masing-masing interval ambil sebuah titik, misal pada interval 𝑥 𝑘−1 , 𝑥 𝑘 sebut sebagai titik 𝑐 𝑘 . Maka pada masing-masing interval terdapat persegi vertikal yang membentang dari 𝑥−axis menyentuh kurva pada (𝑐 𝑘 , 𝑓 (𝑐 𝑘 )). Gambar ?

Pada masing-masing interval kita bentuk suatu hasil kali (product), yaitu 𝑓 (𝑐 𝑘 )∙∆ 𝑥 𝑘 . Jika 𝑓 (𝑐 𝑘 )>0, maka 𝑓 (𝑐 𝑘 )∙∆ 𝑥 𝑘 adalah persegi dengan tinggi 𝑓 (𝑐 𝑘 ) dan lebar ∆ 𝑥 𝑘 . Jika 𝑓 (𝑐 𝑘 )<0, maka 𝑓 (𝑐 𝑘 )∙∆ 𝑥 𝑘 bernilai negatif. Persegi negatif dengan lebar ∆ 𝑥 𝑘 dan turunan 𝑥−axis yaitu 𝑓 (𝑐 𝑘 ) yang bernilai positif. Sehingga penjumlahan product nya adalah 𝑆 𝑃 = 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝑐 𝑘 ∙∆ 𝑥 𝑘 . Jumlah 𝑆 𝑃 disebut Penjumlahan Riemann untuk 𝑓 pada interval 𝑎,𝑏 .

Latihan Soal 𝑘=1 3 𝑘−1 𝑘 𝑘=1 5 𝑘(3𝑘+5) 𝑘=1 7 𝑘 𝑘+1 𝑘=1 3 𝑘−1 𝑘 𝑘=1 5 𝑘(3𝑘+5) 𝑘=1 7 𝑘 𝑘+1 Bentuk notasi sigma dari 1+2+4+8+16+32 adalah... Bentuk notasi sigma dari 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 adalah...

Integral Tentu (Definite Integral) Definisi : Misalkan 𝑓(𝑥) fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup 𝑎,𝑏 . 𝐽 adalah integral tentu dari 𝑓 atas 𝑎,𝑏 dan 𝐽 limit dari jumlahan Riemann 𝑓 𝑐 𝑘 ∙∆ 𝑥 𝑘 jika dipenuhi kondisi berikut : Untuk sebarang 𝜖>0 terdapat 𝛿>0 sehingga untuk setiap partisi 𝑃= 𝑥 0 , 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 oleh 𝑎,𝑏 dengan 𝑃 <𝛿 dan sebarang 𝑐 𝑘 pada 𝑥 𝑘−1 , 𝑥 𝑘 , berlaku 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝑐 𝑘 ∆ 𝑥 𝑘 −𝐽 <𝜖.

Integral tertentu merupakan integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya mempunyai batas-batas tertentu. Integral 𝑓(𝑥) untuk rentang wilayah 𝑥 dari 𝑎 ke 𝑏, dimana 𝑎<𝑏, yaitu Batas bawah integrasi Batas atas integrasi

Fungsi integrable dan nonintegrable Teorema : (Keintegralan pada Fungsi Kontinu) Jika suatu fungsi 𝑓 kontinu pada interval [𝑎,𝑏], atau jika 𝑓 memiliki paling banyak jumlah terbatas lompatan tidak kontinu, maka terdapat integral tentu 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑓 dapat diintegralkan pada 𝑎,𝑏 . Contoh : Fungsi 𝑓 𝑥 = 1, 𝑥 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0, 𝑥 𝑖𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 Tidak memiliki integral Riemann pada 0,1 .

Sifat Integral Tentu Orde Integrasi : 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= − 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Lebar Interval Nol : 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=0 Perkalian Konstanta : 𝑎 𝑏 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑘 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Penjumlahan/Pengurangan : 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 ±𝑔(𝑥) 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Aditif : 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Sifat Integral Tentu Pertaksamaan Max-Min : Jika 𝑓 memiliki nilai maksimum max⁡𝑓 dan nilai minimum min 𝑓 pada [𝑎,𝑏], maka min 𝑓∙(𝑏−𝑎)≤ 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥≤ max 𝑓∙(𝑏−𝑎) Dominasi : 𝑓 𝑥 ≥𝑔 𝑥 pada [𝑎,𝑏] ⟹ 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥≥ 𝑎 𝑏 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑓 𝑥 ≥0 pada [𝑎,𝑏] ⟹ 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥≥0

Contoh : Misalkan −1 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=5 , 1 4 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=−2 𝑑𝑎𝑛 −1 1 ℎ 𝑥 𝑑𝑥=7. −1 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=5 , 1 4 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=−2 𝑑𝑎𝑛 −1 1 ℎ 𝑥 𝑑𝑥=7. Maka, 4 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=− 1 4 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =2 (Sifat 1) −1 1 2𝑓 𝑥 +3ℎ(𝑥) 𝑑𝑥= 2 −1 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +3 −1 1 ℎ 𝑥 𝑑𝑥 =2 5 +3 7 =31 (Sifat 3&4) −1 4 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −1 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 1 4 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =5+ −2 =3 (Sifat 5)

Daerah dibawah Grafik pada Fungsi Nonnegatif Definisi : Jika 𝑦=𝑓(𝑥) nonnegatif dan dapat diferensialkan atas interval tertutup [𝑎,𝑏], maka daerah dibawah kurva 𝑦=𝑓(𝑥) atas [𝑎,𝑏] adalah integral 𝑓 dari 𝑎 ke 𝑏. y Hitung 𝑎 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 ! Jawab : a 𝑎 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 0 𝑥 𝑑𝑥+ 0 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 x b =− 0 𝑎 𝑥 𝑑𝑥+ 0 𝑏 𝑥 𝑑𝑥

Nilai Rata-rata pada Fungsi Kontinu Definisi : Jika 𝑓 dapat diintegralkan di [𝑎,𝑏], maka nilai rata-rata di [𝑎,𝑏], disebut juga mean, yaitu av 𝑓 = 1 𝑏−𝑎 𝑎 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 . y 𝑓 𝑥 = 4− 𝑥 2 Hitung niai rata-rata dari 𝑓 𝑥 = 4− 𝑥 2 di [−2,2] ! x -2 2

Tugas ! 1 2 𝑥 𝑑𝑥= … 0 2 (𝑡− 2 ) 𝑑𝑡= … Nyatakan dalam bentuk integral tentu ! lim 𝑃 →0 𝑘=1 𝑛 𝑐 𝑘 2 ∆ 𝑥 𝑘 , dimana 𝑃 partisi dari [0,2] lim 𝑃 →0 𝑘=1 𝑛 2𝑐 𝑘 3 ∆ 𝑥 𝑘 , dimana 𝑃 partisi dari [−1,0] lim 𝑃 →0 𝑘=1 𝑛 1 𝑐 𝑘 ∆ 𝑥 𝑘 , dimana 𝑃 partisi dari [−7,5]

Tugas ! Misal 𝑓 dan 𝑔 integrabel 1 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=−4, 1 5 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=6, 1 5 𝑔 𝑥 𝑑𝑥=8. Hitung ! 2 2 𝑔 𝑥 𝑑𝑥=… 1 2 3𝑓 𝑥 𝑑𝑥=… 5 1 𝑔 𝑥 𝑑𝑥=… 2 5 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=…