Penyederhanaan Fungsi Boolean

Sub Materi Penyederhanaan dengan K-Map s.d. 4 variabel Kondisi Don’t Care Metode Tabulasi Penyederhanaan POS

Penyederhanaan dengan K-Map s.d. 4 variabel

Karnaugh Map atau K-Map Merupakan diagram yang terdiri dari kotak-kotak Tiap kotak mewakili satu minterm Map dapat memberikan diagram visual dari sebuah fungsi boolean yang dituliskan dalam bentuk standar

K-Map 2 variabel m0 m1 m2 m3 X’Y’ X’Y XY’ XY 1 Contoh : F = XY Y X 0 1 1 X 0 1 m0 m1 m2 m3 X’Y’ X’Y XY’ XY Contoh : F = XY Y 1 X 0 1 1

Contoh 1 F = X + Y Penyelesaian : = X(Y+Y’) + Y(X+X’) = XY + XY’ + XY + X’Y = XY + XY’ + X’Y = m3 + m2 + m1 Y 1 X 0 1 1

K-Map 3 Variabel 23 = 8 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 X’Y’Z’ X’Y’Z X’YZ 1 X 00 01 11 10 Z Y X’Y’Z’ X’Y’Z X’YZ X’YZ’ XY’Z’ XY’Z XYZ XYZ’

Contoh Sederhanakan F = X’YZ + X’YZ’ + XY’Z’ + XY’Z F = X’Y + XY’ 1 Y 1 X 00 01 11 10 Z Y 1 F = X’Y + XY’

Contoh Sederhanakan : F = X’YZ + XY’Z’ + XYZ + XYZ’ 1 F = YZ + XZ’ Y Z 1 X 00 01 11 10 Z Y 1 F = YZ + XZ’

Contoh Sederhanakan : F = A’C + A’B + AB’C + BC 1 F = C + A’B B C BC A 1 A 00 01 11 10 C B 1 F = C + A’B

Contoh Sederhanakan : F(X, Y, Z) = ∑ (0, 2, 4, 5, 6) 1 F = Z’ + XY’ Y 1 X 00 01 11 10 Z Y 1 F = Z’ + XY’

K-Map 4 Variabel m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 WX YZ 00 01 11 10 00 01 11 10 W X Y Z W’X’Y’Z W’X’YZ W’X’YZ’ W’XY’Z’ W’XY’Z W’XYZ W’XYZ’ WXY’Z’ WXY’Z WXYZ WXYZ’ WX’Y’Z’ WX’Y’Z WX’YZ WX’YZ’

K-Map 4 Variabel Satu kotak mewakili term dengan 4 literal Dua kotak berdekatan mewakili term dengan 3 literal Empat kotak berdekatan mewakili term dengan 2 literal Delapan kotak berdekatan mewakili term dengan 1 literal Ujung atas dan bawah serta kiri dan kanan dianggap membentuk kotak yang saling berkatan

Contoh Sederhanakan : F(W,X,Y,Z) = ∑(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) Hasil : 00 01 11 10 00 01 11 10 W X Y Z Hasil : F = Y’ + Z’ + W’Z’ 1

Contoh Sederhanakan : F = A’B’C’ + B’CD’ + A’BCD’ + AB’C’ Hasil : 00 01 11 10 00 01 11 10 A B C D Hasil : F = B’D’ + B’C’ + A’CD’ 1

Kondisi Don’t Care

Konsep Kotak pada map yang tidak berisi angka 1 dianggap bernilai 0 Asumsi tersebut tidak selalu benar karena ada aplikasi dimana ada beberapa kombinasi input yang tidak pernah muncul, sehingga bisa diabaikan (don’t care). Don’t care dapat diterapkan pada K-Map untuk lebih menyederhanakan suatu fungsi boolean.

Contoh Sederhanakan F(W,X,Y,Z) = ∑(1,3,7,11,15) dengan kondisi don’t care d(W,X,Y,Z)=∑(0,2,5) WX YZ 00 01 11 10 00 01 11 10 W X Y Z Hasil : F = W’Z + YZ X 1

Latihan Sederhanakan fungsi Boolean berikut menggunakan K-Map F(X,Y,Z) = ∑(0,1,5,7) F(A,B,C) = ∑(0,2,3,4,6) F(A,B,C,D) = ∑(4,6,7,15) F(W,X,Y,Z) = ∑(0,2,4,5,6,7,8,10,13,15) F = W’Z + XZ + X’Y + WX’Z F =AB’C + B’C’D’ + BCD + ACD’ + A’B’C + A’BC’D

Latihan Sederhanakan fungsi boolean berikut dengan kondisi don’t care a. F(x,y,z) = ∑(0,1,2,4,5) d(x,y,z) = ∑(3,6,7) b. F(a,b,c,d) = ∑(0,6,8,13,14) d(a,b,c,d) = ∑(2,4,10) c. F(a,b,c,d) = ∑(1,3,5,7,9,15) d(a,b,c,d) = ∑(4,6,12,13)

Penyederhanaan POS

Contoh Sederhanakan dalam bentuk SOP dan POS fungsi F(A,B,C,D) = ∑(0,1,2,5,8,9,10) C AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 1 SOP (ambil yg nilainya 1) F = B’D’ + B’C’ + A’C’D B A D

Jawaban POS POS (ambil yg nilainya 0) F’ = AB + CD + BD’ 00 01 11 10 00 01 11 10 A B C D POS (ambil yg nilainya 0) F’ = AB + CD + BD’ F = (A’+B’)(C’+D’)(B’+D) 1

Metode Tabulasi

Konsep Metode K-Map mudah untuk variabel berjumlah kurang dari 5 dan 6, lebih besar dari itu sudah sulit untuk melakukan pengelompokan Metode tabulasi dapat digunakan untuk penyederhanaan fungsi boolean dengan 5 atau lebih variabel dan dapat diterapkan dengan program komputer. Metode tabulasi terdiri dari bagian : Penentuan prime implicant Pemilihan prime implicant

Penentuan Prime Implicant Proses ini membandingkan tiap minterm dengan minterm yang lain. Jika dua minterm berbeda di hanya satu variabel, maka variabel tersebut dihapus sehingga membentuk term dengan jumlah variabel yang lebih kecil. Ulangi sampai tidak ada lagi.

Algoritma Kelompokkan minterm berdasarkan jumlah 1’s yang dimiliki Kombinasikan 2 minterm yang berbeda hanya pada 1 variabel dan beri tanda Ulangi langkah 1 dan 2 sampai tidak ada kombinasi yang mungkin Term yang tidak bertanda adalah prime implicant

Contoh F(W,X,Y,Z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15) HASIL : 0,1 - 0,2,8,10 1 0,2 0,8,2,10 2 0,8 10,11,14,15 8 2,10 10,14,11,15 10 8,10 11 10,11 14 10,14 15 11,15 14,15 HASIL : F = W’X’Y’ + X’Z’ + WY

Contoh F(W,X,Y,Z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15) F = X’Y’Z + W’XZ’ + W’XY + 1,9 - 8,9,10,11 4 4,6 8,10,9,11 8 8,9 6 8,10 9 6,7 10 9,11 7 10,11 11 7,15 15 11,15 F = X’Y’Z + W’XZ’ + W’XY + XYZ + WYZ + WX’

Pemilihan Prime Implicant Proses Penentuan Prime Implicant tidak selalu menghasilkan jumlah term yang minimum, sehingga perlu dilakukan pemilihan prime implicant yang dapat mewakili semua minterm dalam fungsi. Langkah : Lihat per kolom cari yang berisi hanya satu centang (V), beri tanda terpilih pada term yang mewakili dan minterm-nya Jika masih ada sisa minterm, cari term yang dapat mewakili seminimal mungkin

Contoh F(W,X,Y,Z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15) F = X’Y’Z + W’XZ’ + W’XY + 1,9 - 8,9,10,11 4 4,6 8,10,9,11 8 8,9 6 8,10 9 6,7 10 9,11 7 10,11 11 7,15 15 11,15 F = X’Y’Z + W’XZ’ + W’XY + XYZ + WYZ + WX’

Daftar Prime Implicant Term Minterm 1 4 6 7 8 9 10 11 15 X’Y’Z 1,9 V W’XZ’ 4,6 W’XY 6,7 XYZ 7,15 WYZ 11,15 WX’ 8,9,10,11 X’Y’Z W’XZ’ WX’ HASIL : F = X’Y’Z + W’XZ’ + XYZ + WX’

Latihan Sederhanakan fungsi boolean berikut ke dalam bentuk SOP dan POS menggunakan K-Map F(W,X,Y,Z) = ∑ (0,2,5,6,7,8,10) F(A,B,C,D) = ∏ (1,3,5,7,13,15) AC’ + B’D + A’CD + ABCD (A’+B’+D’)(A+B’+C’)(A’+B+D’)(B+C’+D’)

Latihan Sederhanakan dengan menggunakan metode tabulasi a. F(a,b,c,d,e)= ∑(6,9,13,18,19,25,27,29) b. F(a,b,c,d,e,f)=∑(20,28,38,39,52,60,102,103,127) c. F = A’B’CE’ + A’B’C’D’E’ + B’D’E’ + B’CD’ + CDE’ + BDE’