ASSALAMU’ALAIKUM WR. WB

GEOMETRI ANALITIK RUANG Pertemuan 14 RINA AGUSTINA, M. Pd.

BOLA Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awal nya adalah titik tertentu dan panjangnya adalah tetap. Titik awal tertentu itu disebut titik pusat bola. Panjang vektor yang konstan itu disebut jari-jari.

Bola dengan pusat titik O (titik asal) dan berjari-jari r, persamaannya diperoleh dengan cara mengambil sebarang titik P (x, y, z) pada bola. Sehingga 𝑂𝑃 = 𝑟 =(𝑥,𝑦,𝑧)  

Pada gambar di atas: | 𝑂𝑃 |= 𝑟 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , jari-jarinya r Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka setiap titik (x, y, z) pada bola, berlaku: 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Ini berarti persamaan bola dengan pusat O dan berjari-jari r adalah:

Misalkan pusat bola adalah M (a, b, c), jari-jari = R Ambil sebarang titik P ( 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ), pada bola.

Maka berlaku: MP = OP – OM = ( 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) – (a, b, c) = ( 𝑥 0 −𝑎, 𝑦 0 −𝑏, 𝑧 0 −𝑐) Sehingga panjang vektor MP adalah |MP|, yaitu: |MP| = ( 𝑥 0 −𝑎) 2 + ( 𝑦 0 −𝑏) 2 + ( 𝑧 0 −𝑐) 2 Karena |MP| = R (jari-jari bola), aka diperoleh: R = ( 𝑥 0 −𝑎) 2 + ( 𝑦 0 −𝑏) 2 + ( 𝑧 0 −𝑐) 2 𝑅 2 = ( 𝑥 0 −𝑎) 2 + ( 𝑦 0 −𝑏) 2 + ( 𝑧 0 −𝑐) 2

(𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑅 2 …(1) Jika titik P dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan bola. Jadi persamaan bola B yang berpusat di M (a, b, c) dengan jari-jari R adalah: (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑅 2 …(1) Jika persamaan (1) dijabarkan, maka diperoleh: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −2𝑎𝑥−2𝑏𝑦−2𝑐𝑧+ 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑅 2 =0 persamaan (2)

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 …….. (3) Dari persamaan (2), jika: -2a = A, -2b = B, -2c = C dan 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑅 2 = D Maka persamaan (2)dapat ditulis sebagai: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 …….. (3) Selanjutnya persamaan (3) ini disebut sebagai bentuk umum persamaan bola.

Dengan demikian, pusat bola pada persamaan (3) di atas adalah : Begitu pula karena 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑅 2 = D, maka didapat : 𝑅 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 −D 𝑅 2 = (− 1 2 𝐴) 2 + (− 1 2 𝐵) 2 + (− 1 2 𝐶) 2 −D 𝑅= (− 1 2 𝐴) 2 + (− 1 2 𝐵) 2 + (− 1 2 𝐶) 2 −D

Untuk bola dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 terdapat tiga kemungkinan, yaitu: 1. Bila 𝑅 2 > 0, maka bola adalah bola sejati. 2. Bila 𝑅 2 = 0, maka bola adalah bola tiitik (jari-jari = 0) 3. Bila 𝑅 2 < 0, maka bola adalah bola khayal.

Contoh: Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (1, 3, 2) dan melalui titik (2, 5, 0) ! Penyelesaian: Jari-jari bola adalah jarak dua titik tersebut: 𝑟= (2−1) 2 + (5−3) 2 + (−2) 2 𝑟= 1+4+4 = 3

Persamaan bola dengan pusat (1, 3, 2) dan jari-jari 3 adalah : (𝑥−1) 2 + (𝑦−3) 2 + (𝑧−2) 2 =9 Jika dijabarkan menjadi: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −2𝑥−6𝑦−4𝑧+5=0

KERJAKAN ! Tentukan pusat dan jari-jari bola, jika diketahui persamaan bola tersebut sebagai berikut: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −10𝑥−8𝑦−12𝑧+68=0 Penyelesaian: Pusat M = (− 1 2 𝐴, − 1 2 𝐵, − 1 2 𝐶) = (− 1 2 (−10), − 1 2 (−8), − 1 2 (-12)) = (5, 4, 6)

𝑅= (− 1 2 𝐴) 2 + (− 1 2 𝐵) 2 + (− 1 2 𝐶) 2 −D 𝑅= 9 = 3 𝑅= (5) 2 + (4) 2 + (6) 2 −68 𝑅= 25+16+36−68 𝑅= 9 = 3

Jika diketahui 4 buah titik yang tidak sebidang, maka dapat ditentukan persamaan bola yang melalui 4 titik tersebut. Misal titik-titiknya adalah 𝑃 1 ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ), 𝑃 2 ( 𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ), 𝑃 3 ( 𝑥 3 , 𝑦 3 , 𝑧 3 ), dan 𝑃 4 ( 𝑥 4 , 𝑦 4 , 𝑧 4 ). Misal persamaan bola yang dilalui adalah: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0

Maka keempat titik tersebut akan memenuhi persamaan ini, yaitu: 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 +𝐴 𝑥 1 +𝐵 𝑦 1 +𝐶 𝑧 1 +𝐷=0 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2 +𝐴 𝑥 2 +𝐵 𝑦 2 +𝐶 𝑧 2 +𝐷=0 𝑥 3 2 + 𝑦 3 2 + 𝑧 3 2 +𝐴 𝑥 3 +𝐵 𝑦 3 +𝐶 𝑧 3 +𝐷=0 𝑥 4 2 + 𝑦 4 2 + 𝑧 4 2 +𝐴 𝑥 4 +𝐵 𝑦 4 +𝐶 𝑧 4 +𝐷=0

Agar lima persamaan ini mempunyai penyelesaian untuk A, B, C, dan D, maka harus dipenuhi : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 1 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 1 𝑥 3 2 + 𝑦 3 2 + 𝑧 3 2 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 1 𝑥 4 2 + 𝑦 4 2 + 𝑧 4 2 𝑥 4 𝑦 4 𝑧 4 1 = 0 Persamaan determinan ini adalah persamaan kuadrat dalam x, y, dan z yang merupakan persamaan bola yang melalui 4 titik yang diketahui.

Bidang Singgung Bola Misalkan bola dengan persamaan : (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑅 2 dan suatu titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola. Akan dicari persamaan bidang singgung pada bola di titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ). Bidang singgung di titik T dan berjari-jari R saling tegak lurus.

Ambil sebarang titik V (x, y, z) pada bidang singgung, maka: 𝑇𝑉 = < 𝑥− 𝑥 1 , 𝑦− 𝑦 1 , 𝑧− 𝑧 1 > Pusat bola P (a, b, c), maka 𝑃𝑇 = < 𝑥 1 −𝑎, 𝑦 1 −𝑏, 𝑧 1 −𝑐> Karena 𝑇𝑉 ⊥ 𝑃𝑇 , maka 𝑃𝑇 . 𝑇𝑉 = 0

𝑟 2 − < 𝑥 1 −𝑎, 𝑦 1 −𝑏, 𝑧 1 −𝑐> . < 𝑥−𝑎, 𝑦−𝑏, 𝑧−𝑐> = 0 𝑃𝑇 ( 𝑃𝑇 − 𝑃𝑉 )= 0 𝑃𝑇 . 𝑃𝑇 − 𝑃𝑇 . 𝑃𝑉 = 0 𝑟 2 − < 𝑥 1 −𝑎, 𝑦 1 −𝑏, 𝑧 1 −𝑐> . < 𝑥−𝑎, 𝑦−𝑏, 𝑧−𝑐> = 0 ( 𝑥 1 −𝑎)(𝑥−𝑎) + ( 𝑦 1 −𝑏)(𝑦−𝑏)+( 𝑧 1 −𝑐)(𝑧−𝑐) = 𝑟 2 Ini adalah persamaan bidang singgung bola dengan persamaan bola (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑅 2 dan suatu titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola.

1. Normal bidang singgung diketahui 2. Titik singgung diketahui Selayaknya bidang singgung pada lingkaran, persamaan bidang singgung pada boal dapat ditentukan jika : 1. Normal bidang singgung diketahui 2. Titik singgung diketahui 3. Titik di luar bola yang dilalui bidang singgung diketahui

1. Normal bidang singgung diketahui Jika T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑟 2 , maka persamaan bidang singgung melalui T adalah: ( 𝑥 1 −𝑎)(𝑥−𝑎) + ( 𝑦 1 −𝑏)(𝑦−𝑏)+( 𝑧 1 −𝑐)(𝑧−𝑐) = 𝑟 2 2. Titik singgung diketahui Jika T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 , maka persamaan bidang singgung melalui T adalah:

3. Titik tertentu di luar bola diketahui Kuasa suatu titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 adalah 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 +𝐴 𝑥 1 +𝐵 𝑦 1 +𝐶 𝑧 1 +𝐷=0. Jadi T terletak di dalam dam di luar bola, maka kuasa titik terhadap bola berturut-turut mempunyai nilai nol, negatif, dan positif.

Jika titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) diluar bola maka Merupakan persamaan bidang polanya.

(1−3)(𝑥−3) + (3−1)(𝑦−1)+(3−2)(𝑧−2) = 9 Contoh : Tentukan persamaan bidang singgung pada bola: (𝑥−3) 2 + (𝑦−1) 2 + (𝑧−2) 2 = 3 2 dititik T (1, 3, 3) ! Penyelesaian: Titik T (1, 3, 3) terletak pada bola. Karena titik tersebut memenuhi persamaan bola. Maka bidang singgung pada bola adalah: (1−3)(𝑥−3) + (3−1)(𝑦−1)+(3−2)(𝑧−2) = 9 -2x + 2y + z – 7 = 0

TUGAS MANDIRI 1. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +2𝑥−6𝑦+4𝑧+5=0 yang sejajar bidang xy ! 2. Tentukan persamaan bidang singgung bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −2𝑥+4𝑦−8𝑧+5=0 di titik (1, -2, 0) !

WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB SELAMAT BELAJAR WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB