Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung BAB 4 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

Standar Kompetensi: Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya. Kompetensi Dasar: Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi

PERSAMAAN-PERSAMAAN LINGKARAN Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran dan sebuah titik tertentu disebut pusat lingkaran.

Untuk tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran, persamaan yang menghubungkan peubah x dan peubah y disebut persamaan lingkaran. Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh: letak pusat lingkaran M dan panjang jari-jari r.

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari r  Y X P O P(x, y) y x r x2 + y2 = r2

L  {(x  y) l (x  a)2 + (y  b)2 = r2} Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a, b) dan Berjari-jari r AP = (AP)2 + (PP)2  r = (x  a)2 + (y  b)2  r2 =  (x  a)2 + (y  b)2 = r2 L  {(x  y) l (x  a)2 + (y  b)2 = r2} Persamaan lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah (x  a)2 + (y  b)2 = r2

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, dan C bilangan-bilangan real) Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Bentuk umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, dan C bilangan-bilangan real) Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, dan D bilangan-bilangan bulat, A  0). atau Bentuk umum persamaan lingkaran memiliki ciri-ciri khusus Peubah x dan peubah y berderajat/berpangkat dua dan tidak memuat suku perkalian x dengan y (suku xy). Koefisien x2 sama dengan koefisien y2.

Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran Pusat dan jari-jari lingkaran L  x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ditentukan dengan rumus: o) pusat A , 2  ( B ) o) jari-jari r = 4 A2 B2 +  C

Proses menentukan bentuk umum persamaan lingkaran

POSISI SUATU TITIK TERHADAP LINGKARAN Posisi suatu Titik terhadap Lingkaran L  x2 + y2 = r2 Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran L  a2 + b2  r2. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L  a2 + b2  r2. Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran L  a2 + b2  r2.  O Y X P(a, b) r P(a, b) di dalam L P(a, b) pada L P(a, b) di luar L

Posisi suatu Titik Terhadap Lingkaran L  (x + a)2 + (y  b)2 = r2 Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L jika dan hanya jika Titik P(h, k) terletak pada lingkaran L jika dan hanya jika Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran jika dan hanya jika (h  a)2 + (k  b)2  r2 (h  a)2 + (k  b)2 = r2 (h  a)2 + (k  b)2  r2  r Y X L A(a, b) P(h, k) P(h, k) di dalam L P(h, k) pada L P(h, k) di luar L O

Posisi suatu Titik Terhadap Lingkaran L  x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L  K  0. Titik P(h, k) terletak pada lingkaran L  K = 0. Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran L  K  0. Di mana k = h2 + k2 + Ah + Bk + C. Jika titik P(h, k) di luar lingkaran L  x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka panjang garis singgung yang dibuat melalui titik P(h, k) terhadap lingkaran L ditentukan dengan rumus: dengan S adalah titik singgung dan K adalah kuasa titik P terhadap lingkaran L. p PS = h2 + k2 + Ah + Bk+ C K atau

POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN  s Y X A(x , y ) B(x , y ) 2 1 S(x , y ) O L g Memotong lingkaran di dua titik yang berlainan Memotong lingkaran di satu titik atau menyinggung lingkaran Tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Misalkan garis g dan lingkaran L mempunyai persamaan: g  ax + by + c = 0, L  x2 + y2 + Ax + By + C = 0, Posisi garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagi berikut. Langkah 1 Pada bagian persamaan garis (berbentuk linear), nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagi fungsi x.

Langkah 2 Subtitusikan x atau y yang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam persamaan lingkaran (berbentuk kuadrat). Subtitusi ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam peubah x atau y (disebut: persamaaan kudarat gabungan). Kemudian hitunglah nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu. Langkah 3 Posisi garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diskriminan D. D  0  garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan. D = 0  garis g menyinggung lingkaran L. D  0  garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik pada lingkaran Untuk Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan Jari-Jari r Persamaan garis singgung lingkaran L  x2 + y2 = r2 yang melalui titik P(x1 , y1 ) pada lingkaran ditentukan dengan rumus sebagai berikut. x1x + y1y = r2

Untuk Lingkaran dengan Pusat di A(a,b) dan Jari-Jari r Persamaan garis singgung lingkaran L  (x  a)2 + (y  b)2 = r2 yang melalui titik P(x1 , y 1) ditentukan dengan rumus sebagi berikut. (x1  a)(x  a) + (y1  b)(y  b) = r2

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Gradiennnya Diketahui Untuk Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan Jari-Jari r Persamaan garis singgung lingkaran L  x2 + y2 = r2 dengan gradien m dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut. y = mx  r 1+ m2 Untuk Lingkaran dengan Pusat di A(a,b) dan Jari-Jari r Persamaan garis singgung lingkaran L  (x  a)2 + (y  b)2 = r2 dengan gradien m dapat ditentukan dengan rumus sebagi berikut. (y  b) = m(x  a)  r 1+ m2

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Cara untuk menentukan persamaan- persamaan garis singgung lingkaran Langkah 1: Persamaan garis yang melalui P(x 1 , y 1 ), gradiennya m. Persamaannya adalah y  y 1 = m(x  x 1 ) atau y = mx  mx 1 + y . Langkah 2: Subtitusikan y = mx  mx1 + y ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu dihitung. Langkah 3: Karena garis lingkaran, nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m. Subtitusikan niali-nilai m ke persamaan y = mx  mx1 + y , sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.