IKG2H3/ PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASI Author-Tim Dosen KK Pemodelan dan Simulasi Sistem PD Linier Orde 1-Pendahuluan 1/18/2019

Suatu sistem linear bisa dituliskan sebagai berikut: Jika fi(t) = 0, i = 0, 1, …, n maka sistem linear disebut homogen. 1/18/2019

Misalkan X(t), A(t), dan F(t) merepresentasikan matriks-matriks: BENTUK MATRIKS SISTEM LINEAR Misalkan X(t), A(t), dan F(t) merepresentasikan matriks-matriks: 1/18/2019

Maka sistem persamaan diferensial orde satu linear dapat dituliskan sebagai atau secara singkat ditulis Untuk sistem homogen ditulis: …………………………………….(*) 1/18/2019

1. Misalkan maka bentuk matriks dari sistem homogen Contoh: 1. Misalkan maka bentuk matriks dari sistem homogen adalah 1/18/2019

2. Misalkan maka bentuk matriks dari sistem nonhomogen adalah 1/18/2019

Vektor solusi dalam interval I adalah suatu matriks kolom yang entri-entrinya adalah fungsi yang dapat diturunkan dan memenuhi sistem (*) dalam interval tersebut. 1/18/2019

Contoh 3. Periksa bahwa pada interval (-∞,∞) dan adalah solusi dari sistem homogen 1/18/2019

Prinsip Superposisi Misalkan X1, X2, …, Xk adalah himpunan vektor solusi dari sistem PD homogen pada interval I. Maka kombinasi linear dimana ci, i = 1,2,…,k sembarang konstanta, juga merupakan solusi dalam interval tersebut. 1/18/2019

Contoh 4. Periksa bahwa dan adalah solusi dari sistem Kemudian berdasarkan prinsip superposisi, kombinasi linear merupakan solusi lain dari sistem. 1/18/2019

Bergantung Linear dan Bebas Linear Misalkan X1, X2, …, Xk adalah himpunan vektor solusi dari sistem PD homogen pada interval I. Kita katakan himpunan tersebut bergantung linear pada interval I jika terdapat c1, c2, …, ck yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga untuk setiap t dalam interval. Jika himpunan tersebut tidak Bergantung linear maka X1, X2, …, Xk disebut bebas linear. 1/18/2019

adalah vektor-vektor solusi dari sistem homogen pada interval I. WRONSKIAN Misalkan adalah vektor-vektor solusi dari sistem homogen pada interval I. Maka himpunan vektor solusi dikatakan bebas linear jika dan hanya jika Wronskian 1/18/2019

untuk setiap t dalam interval. 1/18/2019

Contoh 5. Berdasarkan contoh sebelumnya bahwa dan adalah solusi dari Karena maka X1 dan X2 bebas linear. 1/18/2019

Solusi Umum Sistem Homogen Vektor-vektor solusi bebas linear X1, X2, …, Xn dari sistem homogen pada interval I disebut himpunan solusi fundamental. Misalkan X1, X2, …, Xn adalah himpunan solusi fundamental dari sistem homogen pada interval I. Maka solusi umum dari sistem tersebut adalah dimana ci, i = 1,2,…,n sembarang konstanta. 1/18/2019

Contoh 6. Kita telah ketahui bahwa dan adalah vektor-vektor solusi bebas linear dari Jadi, X1 dan X2 membentuk himpunan solusi fundamental. Maka solusi umum dari sistem homogen tersebut adalah 1/18/2019

Solusi Umum Sistem Non-homogen Misalkan Xp adalah solusi khusus dari sistem nonhomogen, kemudian misalkan adalah solusi umum dari sistem homogen. Maka solusi umum dari sistem nonhomogen adalah 1/18/2019

Contoh adalah solusi khusus dari sistem nonhomogen pada interval (-∞,∞) . Solusi umum dari sistem homogen adalah Sehingga adalah solusi umum sistem nonhomogen. 1/18/2019

Latihan 1. Tuliskan sistem linear berikut dalam bentuk matriks. 2. Periksa bahwa X adalah solusi dari sistem PD 1/18/2019

3. Periksa apakah vektor-vektor berikut membentuk himpunan solusi fundamental 4. Tunjukkan bahwa adalah solusi khusus dari 1/18/2019

1/18/2019