Distribusi Gabungan Dari Yi dan Yj Kelompok 3: 4A Pmtk Tri Panji Sektiawan (1713500029) Devi Noviyati (1713500109) Isna Kurniasih (1713500110)

Berdasarkan definsi fungsi kepadatan peluang marginal, maka: Misalkan X1, X2, ...,Xn merupakan sampel acak berukuran n. Jika Yi adalah nilai terkecil ke-i dari X1, X2, ...,Xn dan Yj adalah nilai terkecil ke-j dari X1, X2, ...,Xn dengan Yi < Yj; maka berikut ini akan ditentukan bentuk fungsi kepadatan peluang gabungannya. Berdasarkan definsi fungsi kepadatan peluang marginal, maka: 𝑔 𝑖𝑗 𝑦 𝑖 , 𝑦 𝑗 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−1 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 …𝑓 𝑦 𝑛 𝑑 𝑦 𝑛 …𝑑 𝑦 𝑗+1 𝑑 𝑦 𝑗−1 …𝑑 𝑦 𝑖+1 𝑑 𝑦 1 …𝑑 𝑦 𝑖−1 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−2 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 …𝑓 𝑦 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 𝑏 𝑓 𝑦 𝑛 𝑑 𝑦 𝑛 𝑑 𝑦 𝑛−1

= 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−1 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 …𝑓 𝑦 𝑛−1 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−1 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 …𝑓 𝑦 𝑛−1 1−𝐹 𝑦 𝑛−1 𝑑 𝑦 𝑛−1 …𝑑 𝑦 𝑗+1 𝑑 𝑦 𝑗−1 …𝑑 𝑦 𝑖+1 𝑑 𝑦 1 …𝑑 𝑦 𝑖−1 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−1 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 …𝑓 𝑦 𝑛−2 𝑦 𝑛−2 𝑏 𝑓 𝑦 𝑛−1 1−𝐹 𝑦 𝑛−1 𝑑 𝑦 𝑛−1 𝑑 𝑦 𝑛−2 …𝑑 𝑦 𝑗+1 𝑑 𝑦 𝑗−1 …𝑑 𝑦 𝑖+1 𝑑 𝑦 1 …𝑑 𝑦 𝑖−1 dengan 𝑦 𝑛−2 𝑏 𝑓 𝑦 𝑛−1 1−𝐹 𝑦 𝑛−1 𝑑 𝑦 𝑛−1 = misal : U = 1 – F(yn-1) dU = f(yn-1) dyn-1 𝑦 𝑛−2 𝑏 𝑓 𝑦 𝑛−1 1−𝐹 𝑦 𝑛−1 𝑑 𝑦 𝑛−1 = 𝑦 𝑛−2 𝑏 𝑈 𝑑𝑈 = 1 2 𝑈 2 𝑦 𝑛−2 𝑏

𝑓 𝑦 𝑛−2 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 = 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−1 2 𝑦 𝑛−2 𝑏 = 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 = 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−1 2 𝑦 𝑛−2 𝑏 = 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 𝑔 𝑖𝑗 𝑦 𝑖 , 𝑦 𝑗 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 …𝑓 𝑦 𝑛−2 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 𝑑 𝑦 𝑛−2 …𝑑 𝑦 𝑗+1 𝑑 𝑦 𝑗−1 …𝑑 𝑦 𝑖+1 𝑑 𝑦 1 …𝑑 𝑦 𝑖−1 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 … 𝑓 𝑦 𝑛−2 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 𝑑 𝑦 𝑛−2 …𝑑 𝑦 𝑗+1 𝑑 𝑦 𝑗−1 …𝑑 𝑦 𝑖+1 𝑑 𝑦 1 …𝑑 𝑦 𝑖−1

= 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−4 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 … = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−4 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 … 𝑓 𝑦 𝑛−3 𝑓 𝑦 𝑛−2 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 𝑑 𝑦 𝑛−2 𝑑𝑦 𝑛−3 …𝑑 𝑦 𝑗+1 𝑑 𝑦 𝑗−1 …𝑑 𝑦 𝑖+1 𝑑 𝑦 1 …𝑑 𝑦 𝑖−1 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−4 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 …𝑓 𝑦 𝑛−3 𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑓 𝑦 𝑛−2 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 𝑑 𝑦 𝑛−2 𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑓 𝑦 𝑛−2 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 𝑑 𝑦 𝑛−2 𝑑𝑦 𝑛−3 …𝑑 𝑦 𝑗+1 𝑑 𝑦 𝑗−1 …𝑑 𝑦 𝑖+1 𝑑 𝑦 1 …𝑑 𝑦 𝑖−1 dengan 𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑓 𝑦 𝑛−2 1 2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 2 𝑑 𝑦 𝑛−2 = misal : Z = 1 – F(yn-2) dZ = f(yn-2) dyn-2

𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑓 𝑦 𝑛−2 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 𝑑 𝑦 𝑛−2 = 𝑦 𝑛−3 𝑏 1 2 𝑍 2 𝑑𝑍 = 1 2 𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑍 2 𝑑𝑍 = 1 2 1 3 𝑍 3 𝑦 𝑛−3 𝑏 = 1 2 1 3 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 3 𝑦 𝑛−3 𝑏 = 1 6! 1−𝐹 𝑦 𝑛−3 3

𝑔 𝑖𝑗 𝑦 𝑖 , 𝑦 𝑗 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑛 𝑔 𝑖𝑗 𝑦 𝑖 , 𝑦 𝑗 = 𝑎 𝑦 1 … 𝑎 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 𝑗 … 𝑦 𝑗−2 𝑦 𝑗 𝑦 𝑗 𝑏 … 𝑦 𝑛−3 𝑏 𝑛! 𝑓 𝑦 1 …𝑓 𝑦 𝑛−3 1 6! 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 3 1 6! 1−𝐹 𝑦 𝑛−2 3 𝑑𝑦 𝑛−3 …𝑑 𝑦 𝑗+1 𝑑 𝑦 𝑗−1 …𝑑 𝑦 𝑖+1 𝑑 𝑦 1 …𝑑 𝑦 𝑖−1 Jika kita menyelesaikan integral di atas secara bertahap, maka akan diperoleh hasil akhir sebagai berikut: gij ( yi , yj ) = 𝑛! (𝑖−1)! 𝑗−𝑖−1 ! 𝑛−𝑗 ! [F(yi)]i-1 x [F(yj)-F(yi)]j-i-1 [1-F(yj)]n-j x f(yi) f(yj); untuk a<yi<yj<b sehingga fungsi kepadatan peluang gabungan dari yi, yj adalah

sehingga fungsi kepadatan peluang gabungan dari yi, yj adalah gij ( yi , yj ) = 𝑛! (𝑖−1)! 𝑗−𝑖−1 ! 𝑛−𝑗 ! [F(yi)]i-1 x [F(yj)-F(yi)]j-i-1[1-F(yj)]n-j x f(yi) f(yj) ; untuk a<yi<yj<b gij ( yi , yj ) = 0 yang lainnya

Contoh Soal Misalkan 𝑌 1 < 𝑌 2 < 𝑌 3 < 𝑌 4 < 𝑌 5 adalah statistik urutan dari sampel acak berukuran 5 yang berdistribusi dengan fungsi kepadatan peluang berbentuk: F (x) = 𝑒 −𝑥 ; x > 0 = 0 ; lainnya Tentukan fungsi kepadatan peluang dari U = 𝑌 2 + 𝑌 4