Sistem Digital BAB 2 Aljabar Boolean Teknik Informatika Universitas Pembangunan Nasional “Veteran” Jatim

Definisi: Ekspresi Boolean Literal: sebuah variabel atau komplemennya X, X¢, DIN¢, TK_L Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi X+Y P × Q × R A + B × C ((DIN × Z¢) + TK_L × A × B¢ × C + Q5) × RESET¢ Persamaan: variabel = ekspresi P = ((DIN × Z¢) + TK_L × A × B¢ × C + Q5) × RESET¢

Tabel Kebenaran X Y X.Y 1 X Y X+Y 1 X X’ 1

2.1 Teorema Boolean

Aksioma Aksioma kumpulan definisi dasar (A1 - A5, A1’ - A5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar boolean Dapat digunakan untuk membuktikan teorema aljabar boolean lainnya.

Aksioma (A1) X=0, if X1 (A1’) X=1, if X0 (A2) If X=0, then X’=1 0 · 0 = 0 (A3’) 1 + 1 = 1 (A4) 1 · 1 = 1 (A4’) 0 + 0 = 0 (A5) 0 · 1 = 1 · 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1

Teorema variabel tunggal Postulate 2 (P1) X + 0 = x P1’ X . 1 = X Postulate 5 (P5) X + X’ = 1 P5’ X . X’ = 0 Theorem 1 (T1) X + X = X T1’ X . X = X Theorem 2 (T2) X + 1 = 1 T2’ X . 0 = 0 Theorem 3 (T3) (X’)’ = X

Contoh Contoh: (P1) X + 0 = X Dibuktikan melalui induksi sempurna Karena sebuah variabel boolean hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1 Contoh: (P1) X + 0 = X X=0 : 0 + 0 = 0  benar menurut aksioma A4’ X=1 : 1 + 0 = 1  benar menurut aksioma A5’

Teorema dua dan tiga variabel P3 X+Y = Y+X P3’ X . Y = Y. X KOMUTATIF T4 (X+Y)+Z = X+(Y+Z) T4’ (X.Y).Z = X.(Y.Z) ASOSIATIF P4 X.Y+X.Z=X.(Y+Z) P4’ (X+Y).(X+Z)=X+Y.Z DISTRIBUTIF T5 (X+Y)’=X’.Y’ T5’ (X.Y)’=X’+Y’ DE MORGAN T6 X+X.Y=X T6’ X.(X+Y)=X ABSORPSI

Teorema P4 (Distributif) (P4) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) P4 : penjumlahan dari perkalian (sum of products (SOP)) P4’ : Perkalian dari penjumlahan (product of sums (POS))

SOP dan POS V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z (bentuk SOP) V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z (bentuk POS) (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y)

Contoh Teorema DeMorgan: NAND (X · Y)’ = (X’ + Y’) (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND pada ekspresi gerbang logika 

Contoh Teorema DeMorgan: NOR (X + Y)’ = (X’ · Y’) (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika 

Generalisasi Teorem DeMorgan Contoh: F(W,X,Y,Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’)) [F(W,X,Y,Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’)) Gunakan (T3) (X’)’ = X, pers. Diatas dapat disederhanakan menjadi: [F(W,X,Y,Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z))

2.2 Fungsi Boolean

Fungsi Boolean Adalah sebuah ekspresi yang terbentuk dari variabel, OR, AND, NOT, tanda kurung dan tanda persamaan. Contoh : F = X.Y.Z’ Fungsi F akan bernilai 1 jika X=1, Y=1 dan Z’=0.

Contoh X Y Z F1 F2 F3 F4 1 F1 = X.Y.Z’ F2 = X + Y’Z F3 = X’.Y’.Z + X’.Y.Z + X.Y’ F4 = X.Y’ + X’Z X Y Z F1 F2 F3 F4 1

Komplemen Fungsi Boolean Pada tabel kebenaran, tukar nilai 0 dengan 1 dan sebaliknya Cara cepat: komplemen fungsi dapat ditemukan melalui pertukaran “+” dan “.” serta pengkomplemenan seluruh variabel X Y Z F1’ F2’ F3’ F4’ 1

Komplemen Fungsi Boolean Contoh: F(W,X,Y,Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’)) = ((W)’ · X) + (X · Y) + (W · ((X)’ + (Z)’)) [F(W,X,Y,Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’)) Gunakan (T3) (X’)’ = X, pers. Diatas dpt disederhanakan menjadi: [F(W,X,Y,Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z))

Manipulasi ekspresi Boolean Bagaimana menyatakan (A · B + C) dalam bentuk lain? Gunakan teorema DeMorgan … A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’ = ( ( A · B )’ · C’ )’ = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’ ( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’ Sederhanakan X’Y’Z+X’YZ+XY’ ?

Definisi lanjut – Ekspresi Boolean Term perkalian: Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z) Term penjumlahan: Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z) Ekspresi sum-of-products (SOP): Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z) Ekspresi product-of-sums (POS) : Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z)

Definisi lanjut – Ekspresi Boolean Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dalamnya tidak ada variabel yang muncul lebih dari sekali Contoh term non-normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y X·X’·Y Contoh term normal: W·X·Y’ W+X’+Y 0

2.3 Canonical dan Standard Forms

Minterm (standar product) Sebuah minterm n-variabel merupakan sebuah term perkalian normal dgn n literals. Terdapat 2n term perkalian dari n-literal. Contoh minterm 4 variabel: W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’ Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada satu baris dari tabel kebenaran

Maxterm (standar sum) W’ + X’ + Y + Z’ Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals. Terdapat 2n term-2 penjumlahan yang demikian. Contoh-2 maxterm 4-variabel: W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z

Minterms/Maxterms untuk sebuah fungsi 3-variabel

Representasi Penjumlahan Kanonis (sum of minterms) Minterm i : Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 Penjumlahan Kanonis (Canonical sum): Jumlah dari seluruh minterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi S: Contoh: S X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z Representasi ini biasa direalisasi dgn menggunakan rangkaian logika AND-OR dengan inverter pada masukan gerbang AND.

Contoh penjumlahan kanonis Fungsi direpresentasikan dengan tabel kebenaran: mempunyai representasi penjumlahan kanonis sbb: F = S X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z Row X Y Z F 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 Daftar Minterm menggunakan notasi S Penjumlahan minterms kanonis secara aljabar

Contoh Ubah fungsi boolean F=A+(B’C) ke dalam bentuk penjumlahan kanonis Jawab : Fungsi memiliki 3 variabel yaitu A, B, C F = A+(B’C) = A(B+B’)(C+C’) + (B’C)(A+A’) = AB(C+C’) + AB’(C+C’) + AB’C + A’B’C = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’ + AB’C + A’B’C = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’ + A’B’C = m7 + m6 + m5 + m4 + m1 F(A, B, C) = ∑ (1, 4, 5, 6, 7)

Representasi perkalian kanonis (product of maxterms) Maxterm i: baris i dari tabel kebenaran yang mempunyai keluaran 0 Pekalian kanonis: Perkalian dari maxterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi P : Contoh: P X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’) . (X + Y’ + Z) . (X’ + Y + Z’) Representasi direalisasi dgn menggunakan rangk. logika OR-AND dengan inverter pada masukan gerbang OR

Contoh perkalian kanonis Fungsi direpresentasi dengan tabel kebenaran: memiliki representasi perkalian kanonis: F = P X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’) · (X + Y’ + Z) · (X’ + Y + Z’) Row X Y Z F 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 Daftar Maxterm  notasi P Perkalian maxterms kanonis secara aljabar

Contoh Ubah fungsi boolean F = XY + X’Z ke dalam bentuk perkalian kanonis Jawab : Fungsi memiliki 3 variabel yaitu X, Y, Z F = XY + X’Z = ( XY + X’ )( XY + Z) = ( X + X’ )( Y + X’ )( X + Z )( Y + Z ) = ( Y + X’ )( X + Z )( Y + Z ) = ( Y + X’ + ZZ’ )( X + Z +YY’ )( Y + Z + XX’ ) = ( X’ + Y + Z ) ( X’ + Y + Z’ )( X + Y + Z ) ( X + Y’ + Z ) ( X + Y + Z ) ( X’ + Y + Z ) = ( X’ + Y + Z ) ( X’ + Y + Z’ )( X + Y + Z ) ( X + Y’ + Z ) = M4.M5.M0.M2 F(X, Y, Z) = P (0, 2, 4, 5)

Konversi antara daftar Minterm/Maxterm Dapatkan komplemen dari set … Contoh: S X,Y,Z(0,1,2,3) = P X,Y,Z(4,5,6,7) S X,Y(1) = P X,Y(0,2,3) S W,X,Y,Z(0,1,2,3,5,7,11,13) = P W,X,Y,Z(4,6,8,9,12,14,15)

Bentuk standar Bentuk standar : Sum of products (SOP) Product of sums (POS) SOP : ekspresi boolean yang terdiri term AND. Disebut juga term perkalian. F = Y’ + XY + X’YZ’ POS : ekspresi boolean yang terdiri term OR. Disebut juga ter penjumlahan. F = X( Y’ + Z )( X’ + Y + Z’ + W )

Bentuk Nonstandar Contoh : F = ( AB + CD )( A’B’ + C’D’ ) Dapat diubah ke dalam bentuk standar dengan menggunakan hukum distributif F = A’B’CD + ABC’D’

Gerbang Logika . AND OR NOT NAND NOR EXCLUSIVE OR (XOR) EXCLUSIVE NOR a.b a+b a' (a+b)' (a.b)' ab’ + b’a = a  b ab + a’b’ = a b EXCLUSIVE NOR (XNOR) .

Tabel Kebenaran . X Y XY X+Y X’ (XY)’ (X+Y)’ XY’+X’Y X  Y XY+X’Y’X Y 1 .

Contoh TTL IC: Inverter A A' A A' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ground Vcc Tabel kebenaran TTL 74LS family 74LS04 Hex Inverter IC Package

Contoh TTL IC: Gerbang AND A · B 1 Tabel kebenaran A B A·B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ground Vcc TTL 74LS family 74LS08 Quad 2-input AND Gate IC Package

Contoh TTL IC: gerbang OR A+B Tabel kebenaran TTL 74LS family 74LS08 Quad 2-input OR Gate IC Package

Contoh TTL IC: Gerbang NAND (A·B)'  Gerbang NAND  self-sufficient: dapat membangun setiap rangk. Logika manapun, termasuk AND/OR/NOT. Contoh: implementasi NOT menggunakan NAND A B (A·B) ' 1 Tabel kebenaran TTL 74LS family 74LS00 Quad 2-input NAND Gate IC Package

Contoh TTL IC: Gerbang NOR  A B (A+B)' Gerbang NOR juga self-sufficient. Pertanyaan: Bagaimana membangun gerbang NOT dengan menggunakan NOR? Tabel kebenaran TTL 74LS family 74LS02 Quad 2-input NOR Gate IC Package

Contoh TTL IC: Gerbang XOR A  B = A B’ + A’ B A B A Å B A B A  B 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ground Vcc 1 1 1 1 Tabel kebenaran TTL 74LS family 74LS86 Quad 2-input XOR Gate IC Package

LATIHAN 1. Tunjukkan dengan menggunakan tabel kebenaran hukum DeMorgan’s (XYZ)’ = X’ + Y’ +Z’ 2. Sederhanakan ekspresi boolean berikut : a. x’y’ + xy + x’y b. x’yz + xz c. ( xy’ + a’d )( ab’ + cd’ ) 3. Ubahlah ekspresi berikut ke dalam bentuk sum of minterms dan product of maxterms a. F(A, B, C, D) = ∑ (0, 2, 6, 11, 13, 14) b. ( AB + C )( B + C’D ) 4. Gambarkan rangkaian logika untuk soal no.2.