CONT Teorema Pythagoras Apa itu teorema pythagoras (maknanya apa ??)

Teorema Pythagoras Hukum Pythagoras dalam segitiga siku-siku: c2 = b2 + a2 (kuadrat sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya). Siapa yang bisa membuktikannya ??

Mari kita lihat bukti di tingkat SMP c a Apa persoalannya ??? Perlu tak mencari metoda Pembuktian yang lain

Bukti 1. Pythagoras Mulailah dengan 4 segitiga yang sama. Tiga diantaranya putar sebesar 90o, 180o, dan 270o, berturut-turut. Setiap segitiga mempunyai luas ab/2. Susun keempat segitiga tadi sehingga membentuk persegi dengan sisi c. Persegi tersebut mempunyai lubang yang berbentuk persegi dengan sisi (a-b). Jumlahkan luas persegi lubang tadi dengan luas keempat segitiga, diperoleh: c2 = (a-b)2+2ab = a2-2ab+b2+2ab = a2+b2 .

Bukti 2. Pythagoras Bukti ini diberikan oleh President J.A. Garfield (USA) in 1876. Kata kunci di sini adalah luas trapesium Berapa luas trapesium disamping Luasnya adalah setengah dari jumlah 2 sisi sejajar dikalikan tinggi, yaitu (a+b)/2·(a+b). Dengan melihat sudut pandang lain, luas tersebut dapat dihitung sebagai jumlah dari luas 3 segitiga, yaitu ab/2 + ab/2 + c·c/2. Sehingga diperoleh ( ayo berapa ??? ) a2+b2=c2.

L = ½ (a + b).(a + b)

Coba yang ini

Luas 4 buah segitiga + luar 1 buah persegi di dalam = Luar persegi yang besar 4.½ a.b + c2 = (a + b)2

4.½ a.b + c2 = (a + b)2 c2 = a2 + b2.

Perhatikan  ABC Dengan menggunakan kesebangunan di SMP, tentukan yang sebangun dan apa yang anda peroleh

Teorema Pythagoras Setidaknya terdapat 63 cara membuktikan Beberapa contoh bukti diillustrasikan di sini. Show 1 Show 2 Show 3 Show 4

Triangles - 1

Triangles - 2

Triangles - 3

Tantangan

Persamaan Garis  B(x2,y2)  P(x,y)  A(x1,y1) Untuk membentuk persamaan garis diperlukan minimal dua titik. Garis merupakan tempat kedudukan titik-titik. Jika suatu garis melalui titik A (x1,y1) dan titik B (x2,y2), maka tentunya ada titik P (x,y) yang terletak pada garis tersebut. Secara vektor dituliskan : P-A = k(B-A) P = kB-(k-1)A AP = k AB  B(x2,y2)  P(x,y)  A(x1,y1)

Jadi titik P mempunyai koordinat : x = k(x2 – x1) + x1 y = k(y2 – y1) + y1 Apa ini Persamaan garis melalui dua titik

sebut Dan Diperoleh y = mx + c Apa anda tau apa persamaan apa itu

Mari kita perhatikan kembali persamaan Apalagi ini, Ya, persamaan umum garis lurus

Kemiringan suatu garis lurus P(x,y) k.y P2(x2,y2) y x k.x P1(x1,y1) O Bilangan arah [x, y], [-x, -y], [k.x, ky], Cosines arahnya : u=[l,m], v=[-l,-m], Apa nilai l dan m ????

Ayo, l = ? Dan m = ? P2(x2,y2) y x P1(x1,y1) O

contoh

Persamaan parameter suatu garis lurus P2(x2,y2) P(x,y) O P1(x1,y1)

Malas pakai persamaan paramaeter Ambil sebarang titik P(x,y) pada garis P1P2 P2(x2,y2) P(x,y) P1(x1,y1) O Gradiennya sama, maka Atau

Jelaskan ide di atas berdasarkan Konsep kesebangunan P2(x2,y2) P(x,y) ???? P1(x1,y1) O Ada Ide Lain

Sudut andara dua garis lurus x y O P2(l2,m2 ) P1(l1,m1 ) Dari hukum cosinus berlaku : P1P2|2 = |OP1|2 + |OP2|2 -2|OP1|. |OP2| cos  Ingat |OP1| = |OP2| = 1, sehingga diperoleh

|P1P2 |2= 1 + 1 – 2 cos  = 2 – 2 cos , Ingat lagi bahwa : |P1P2 |2= (l2-l1)2 + (m2-m1)2, Sehingga diperoleh : 2 cos  = 2 - (l2-l1)2 + (m2-m1)2, = 2 – 2 + 2(l1l2 – m1m2) . . . (dari mana sich) Karena : l12 + m12 = 1 = l22 + m22 Maka : cos  = l1l2 +m1m2. apa maksudnya ini ?? Cosinus dari sudut antara dua vektor adalah sama dengan jumlah hasil kali skalar dari masing-masing cosinus arah kedua vektor tersebut :

Jadi,, jika

Persoalan selanjutnya Bagamana menentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik dengan arah yang diketahui y – y1 = m (x – x1), dari mana bok datangnya Silakan coba dari turunkan persamaan garis melalui dua titik Selanjutnya ingat titik potong garis dengan sb x dan sb y,

SAMPAI DISINI

Sin (+), tanpa didahului oleh cos (+), Misalkan  BOC =  dan  COD =  Maka  BOD =  +   OCD = 900  OCT =  CDT = 

SOAL LUAS  A 50 40 C B 60 BERAPA LUAS ABC

Ingat T Phytagoras BIMBING PELAJAR MEMBUAT GARIS ATBC A C B T 50 40 X 60-X C B T 402 – X2 = 502 - (60 – X)2 (60 – X)2 –X2 = 502 - 402 602 – 2X = 9010 Maka dapat x dan luaspun dapat

Ingatkan pelajar T Phytagoras BIMBING PELAJAR MEMBUAT GARIS ATBC A C 50 40 X 60-X C B T 402 – X2 = 502 - (60 – X)2 (60 – X)2 –X2 = 502 - 402 602 – 2X = 9010 Maka dapat x dan luaspun dapat

- Hitung h, maka luas diperoleh

Kalau diteruskan ini juga bisa menghasilkan rumus luas

INGAT DISINI KITA TIDAK MENGGUNA KAN ATURAN COSINUS SEHINGGA BISA DIBERI UNTUK ANAK SMP

COBA ANDA BANDINGKAN BUKTI DI ATAS DENGAN BUKTI DI BERBAGAI BUKU SMA (SPT BERIKUT) dengan menggunakan maka diperoleh

Sehingga sekali lagi dengan menggunakan rumus luas segitiga L = ½ bc sinA BANDINGKAN TINGKAT KESULITANNYA SERTA MATERI PENDUKUNGNYA

Berapa panjang r (jari-jari lingkaran dalam)

Luas ABC = Luas AIB + Luas BIC + Luas CIA Jari-jari lingkaran dalam pada segitiga ABC dapat ditentukan dengan rumus berikut Bukti : Pandang Luas ABC = Luas AIB + Luas BIC + Luas CIA Silakan disederhanakan

Perhatikan ini S = x + y + z = x + a = y + b = z + c S=(a+b+c)/2

Cara lain yang lebih seru L= r(x+y+z)=r.s

tan.tan + tan.tan + tan.tan = 1 Lemma : jika , ,  adalah sebarang sudut sehingga berlaku  +  +  = /2, maka berlaku tan.tan + tan.tan + tan.tan = 1 tan tan Tan.tan sec.tan sec 1   tan(tan+tan)  tan+tan tan.tan + tan.tan + tan.tan = 1

L2 = sxyz=s(s-a)(s-b)(s-c) tan.tan + tan.tan + tan.tan = 1 L2 = sxyz=s(s-a)(s-b)(s-c)

Segi empat siklik Karena A + C = 1800, cos A = - cos C sin A = sin C n2 = a2 + b2 - 2ab cosA n2 = c2 + d2 - 2cd cosC 2(ab + cd) cosA = a2 + b2 – c2 – d2 4L = (ab + cd) sin A

= (2ab + 2cd + a2 + b2 – c2 – d2)(2ab + 2cd – a2 – b2 + c2 + d2) 4(ab + cd)2 = (a2 + b2 – c2 – d2)2 + 16L2 16L2 = (2ab + 2cd)2 – (a2 + b2 – c2 – d2)2 = (2ab + 2cd + a2 + b2 – c2 – d2)(2ab + 2cd – a2 – b2 + c2 + d2) = ((a + b)2 - (c - d)2).((c + d)2 - (a - b)2) = (a + b + c - d)(a + b - c + d)(c + d + a - b)(c + d - a + b) = (2s - 2d)(2s - 2c)(2s - 2b)(2s - 2a) Kalau d = 0, maka kembali ke Luas segitiga

The Law of Cosines implies that because both sides equal the square of the length of the diagonal BD. This can be rewritten as

Adding this to the above formula for yields Following the same steps as in Brahmagupta's formula, this can be written as

Introducing the semiperimeter the above becomes

Sekarang untuk sebarang segiempat BD2 = a2 + d2 – 2ad cos A BD2 = b2 + c2 – 2bc cos C a2 + d2 – 2ad cos A = b2 + c2 – 2bc cos C a2 + d2 - b2 - c2 = 2ad cos A – 2bc cos C (*)

L ABCD = LABD + LBDC = ½ ad sin A + ½ bc sin C 4L = 2ad sin A + 2 bc sin C

16L2 = 16(s – a) (s – b) (s – c) ( s – d) – 16 abcd cos2

Cara lain Cosine law for triangle ABC Cosine law for triangle ADC note that cos (180° - x) = -cos x Equate the two x2

Area of ABCD Square both sides of the equation

From

Note that a + b + c + d = P, the perimeter. Thus, Substitute 1 - cos2 θ to the equation of A2 above

Recall that   the semi-perimeter. Thus, Finally,

THANK YOU Terima kasih