DIFERENSIAL (fungsi sederhana) Lanjutan……

Hakekat Derivatif dan Diferensial dy/dx  terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y, dx merupakan diferensial dari x. Diferensial dari x : dx = ∆x Diferensial dari y : dy=(dy/dx) ∆x Variabel terikat

dy/dx  lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu. ∆y/∆x  lereng yang sesungguhnya (the true slope) Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated), atau lebih kecil (under estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya (teragantung pada jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas)

Fungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran = lereng sesungguhnya, berapapun ∆x  dy/dx = ∆y/ ∆x Perubahan x = ∆x Perubahan y = ∆y Diferensial x = dx Diferensial y = dy Kuosien diferensi = ∆y/ ∆x Derivatif = dy/dx R ∆y = dy P Q ∆x = dx dy/dx = ∆y/ ∆x

Fungsi y = f(x) yang non-linier QR=∆y P QR=dy Q QS=dx P QS=∆y Q ∆x = dx ∆x = dx x x (b) (a) dy > ∆y Over-estimated dy < ∆y Under-estimated

Contoh Andaikan y = 3x-4x+5 dan ingin diketahui serta dibandingkan nilai dy dan nilai Δy untuk Δx = 0.0001 dari kedudukan x =2. dy/dx = 6x-4 = 6(2) – 4 = 8 dy = dy/dx Δx = 8 (0,0001) = 0,0008 Δy = f(x+Δx) – f(x) = 3(x+Δx) - 4(x+Δx)+5 – (3x-4x+5) =3(2+0,0001) - 4(2+0,0001)+5 – 3(2)+4(2)-5=0,0008 Jadi untuk x=2 dan Δx =0,0001 ternyata dy=Δy=0,0008, berarti lereng taksirannya sama persis dengan lereng yang sesungguhnya

Derivatif dari derifatif Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya). Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi pertama, dst.

Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya  besarnya turunan pertama dan turunan kedua  akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya.

Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-masing turunannya

Fungsi Menaik dan Menurun Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu. Lereng nol y = f(x) Lereng negatif fungsi menurun f’(a) > 0, y = f(x) menaik f’(a) < 0, y = f(x)menurun Lereng positif fungsi menaik Lereng nol

Uji Tanda Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0. Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Contoh Tentukan apakah y=f(x)= 1/3x - 4x+12x-5 merupakan fungsi menaik ataukah fungsi menurun pada x=5 dan x =7. selidiki untuk x=6?

Titik ekstrim fungsi parabolik Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara grafik. y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4  dimasukkan ke dalam persamaan Parabola  didapat nilai y = -4

y y = x2 – 8x + 12 12 y’= 2x - 8 y” = 2 2 x 2 4 6 -4 (4,-4) -8

Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.

Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. Derivatif pertama berguna menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat mengetahui jenis titik ekstrim dan menentukan letak titik beloknya Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut : y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear

Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik  maka y = 3.67 (2, 3.67)  titik ekstrim maksimum Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif) Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik  maka y = 2.33 (4, 2.33)  titik ekstrim minimum Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif) Jika y” = 0  2x – 6 = 0  x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik  didapatkannilai y = 3  titik belok (3,3)

y’ = x2 – 6x + 8 y’’= 2x – 6 y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3 y” = 2 y 8 (2,3.67) y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3 3.67 (3,3) (4,2.33) y” = 2 2 x 2 4 3 (3,-1) -2 -4 -6

Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0

Relationship between marginal-cost and average-cost functions TC = C(Q) total cost MC = C'(Q) marginal cost AC = C(Q)/Q average cost C MC AC Q

Penerapan lain : Elastisitas  dengan rumus umum :