Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2012/2013 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Metode Dual Simplex Dapat dimanfaatkan untuk Menentukan solusi optimal baru setelah menambah kendala baru pada LP Menentukan solusi optimal baru setelah perubahan rhs dari LP Mencari solusi masalah minimize (yang normal)

Metode Dual Simplex pada kasus Maksimisasi Kriteria optimal bukan lagi pada baris nol Kriteria optimal berdasarkan rhs Baris pivot ditentukan dulu, baru ditentukan kolom pivot

Langkah-langkah: 1. Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? Ya: solusi sudah diperoleh Tidak: lanjutkan langkah berikutnya 2. Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot) yang harus meninggalkan BV. Pilih kolom pivot, sebagai pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Ratio test= Koefisien baris nol/Koefisien baris pivot Pemenangnya adalah ratio terkecil: BV yang baru Lakukan ERO 3. Selesai jika rhs setiap kendala>=0. Jika rhs ada yang <0 tapi pada baris pivot semua koefisien >=0: tidak ada solusi feasibel Selainnya kembali ke langkah 1.

Menentukan solusi optimal baru setelah menambah kendala baru pada LP Terdapat tiga kemungkinan: Solusi optimal yang ada memenuhi kendala baru Solusi optimal yang ada tidak memenuhi kendala baru, tapi LP tetap mempunyai solusi feasibel Tambahan kendala menyebabkan LP tidak mempunyai solusi feasibel

Pada Permasalahan Dakota Misalkan dipunyai kendala baru dalam bentuk sbb: Kasus 1 Solusi optimal masih memenuhi kendala tsb:

Tidak memenuhi kendala baru Misalkan pihak pemasaran menentukan bahwa paling sedikit 1 meja harus diproduksi. Maka akan ada kendala baru sbb: Kasus 2 Dari solusi yang ada x2 =0 Tidak memenuhi kendala baru Solusi tidak lagi feasibel dan tidak optimal Digunakan metode dual simpleks, berdasarkan tableau paling akhir + kendala baru

Kendala baru dalam bentuk standar: Untuk memperoleh bentuk kanonik pada peubah excess: Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 e4=-1

Langkah-langkah dual simplex pada kasus ini Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 e4=-1 x2 5 -2 1.25 -1 Baris 4 -1 1 e4=-1 Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? Tidak: lanjutkan langkah berikutnya Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot). Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Lakukan ERO: x2 menggantikan e4

Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 3: baris 4 didahulukan (pivot row) z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 e4=-1 Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 3: baris 4 didahulukan (pivot row) Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs Baris 4 1 -1

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 e4=-1 Dengan ERO ingin diperoleh baris 0 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row) Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs Baris 0 1 10 5 275 Baris 4 1 -1

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 e4=-1 Dengan ERO ingin diperoleh baris 1 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row) Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs Baris 0 1 10 5 275 Baris 1 1 2 -8 -2 26 Baris 4 1 -1

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 e4=-1 Dengan ERO ingin diperoleh baris 2 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row) Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs Baris 0 1 10 5 275 Baris 1 1 2 -8 -2 26 Baris 2 1 2 -4 -2 10 Baris 4 1 -1

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 e4=-1 Dengan ERO ingin diperoleh baris 3 di tableau 3: dengan memanfaatkan baris 4 di tableu 3 (pivot row) Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV z=275 s1=26 x3=10 x1=0.75 x2=1 Baris 0 1 10 5 275 Baris 1 1 2 -8 -2 26 Baris 2 1 2 -4 -2 10 Baris 3 1 -0.5 1.5 1.25 0.75 Baris 4 1 -1

Dengan tambahan batasan bahwa paling sedikit 1 meja harus diproduksi Solusi optimal awal: Memproduksi 2 bangku, dan 8 kursi tanpa memproduksi meja dengan profit 280 Dengan tambahan batasan bahwa paling sedikit 1 meja harus diproduksi Solusi optimal berubah menjadi: Meja diproduksi 1 buah, dengan konsekuensi mengurangi produksi bangku dan menambah produksi kursi Bangku dari 2 buah menjadi 0.75 buah (non integer di luar topik ini!) Kursi dari 8 buah menjadi 10 buah Keuntungan menjadi lebih rendah

Kasus 3 Misalkan pihak manajemen memberi syarat bahwa jumlah produksi bangku dan meja paling sedikit 12 buah: Solusi optimal awal: Memproduksi 2 bangku, dan 8 kursi tanpa memproduksi meja Tidak memenuhi syarat tersebut Solusi optimal awal tidak memenuhi syarat sehingga harus dilakukan tambahan iterasi dengan mentode dual simplex

Tambahan kendala baru dalam bentuk standar: Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 -12 e4=-12 Baris 4 -1 1 -12 e4=-12 Karena X1 BV, kolom bagi X1 harus disesuaikan menjadi bentuk kanonik di baris 3 Dengan cara melakukan ERO untuk baris 4

Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 -1 -12 e4=-12 Tableau 2’ z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 0.25 -0.5 1.5 1 -10 e4=-10

Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 4 Tableau 2’ z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 0.25 -10 e4=-10 s2 10 2 -0.5 Baris 4 0.25 -0.5 1.5 1 -10 e4=-10 Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? Tidak: lanjutkan langkah berikutnya s2menggantikan e4 Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 4 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Tidak perlu ratio test karena: Hanya s2, yang mempunyai koefisien (-) pada baris pivot.

Dengan ERO diperoleh Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Baris 4 0.25 -10 e4=-10 Dengan ERO diperoleh Tableau 3 Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 10 40 20 80 z=80 Baris 1 -1 -2 4 -16 s1=-16 Baris 2 2 -32 x3=-32 Baris 3 12 x1=12 Baris 4 -0.5 -3 s2=20

Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 2 Tableau 3 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 10 40 20 80 z=80 Baris 1 -1 -2 4 -16 s1=-16 Baris 2 2 -32 x3=-32 Baris 3 12 x1=2 Baris 4 -0.5 -3 s2=20 x2 10 -1 1 -0.5 Baris 2 -1 1 2 4 -32 x3=-32 Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? Tidak: lanjutkan langkah berikutnya Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 2 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Tidak perlu ratio test karena: Hanya x2, yang mempunyai koefisien (-) pada baris pivot. x2menggantikan x3

Dengan ERO diperoleh Tableau 4 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 10 40 20 80 z=80 Baris 1 -1 -2 4 -16 s1=-16 Baris 2 2 -32 x3=-32 Baris 3 12 x1=2 Baris 4 -0.5 -3 s2=20 Dengan ERO diperoleh Tableau 4 Tableau 4 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 10 60 -240 z=-240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 -2 32 x2=32 Baris 3 2 3 -20 x1=-20 Baris 4 -0.5 36 s2=36

Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 3 Tableau 4 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 e4 rhs BV Baris 0 1 10 60 -240 z=-240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 -2 32 x2=32 Baris 3 2 3 -20 x1=-20 Baris 4 -0.5 36 s2=36 Baris 3 1 2 3 -20 x1=-20 Apakah rhs setiap kendala sudah >=0 semua? Tidak: lanjutkan langkah berikutnya Pilih BV yang paling negatif (Baris pivot): Baris 3 Pilih kolom pivot: pemenang ratio test dari setiap peubah dengan koefisien negatif pada baris pivot Tidak ada peubah dengan koefisien negatif pada baris 3 Indikator bahwa tidak ada solusi feasibel bagi LP setelah tambahan kendala baru. Nilai Z yang (-) juga sebagai indikator infeasibilitas