METODA SIMPLEKS (Prosedur Simpleks)

Metoda Simpleks Bisa digunakan untuk Program Linier lebih dari 2 variabel , yang tidak bisa dilakukan dengan metoda grafik. Merupakan suatu prosedur aljabar yang didasarkan konsep geometrik (Titik ruang). Untuk mendapatkan solusi yang optimal dengan metoda simpleks, akan dilakukan beberapa iterasi.

Metoda Simpleks Suatu masalah pada proses diubah dulu menjadi Model Matematik. Berupa Ketidaksamaan. Bentuk ketidaksamaan harus diubah terlebih dulu ke bentuk persamaan. Pengubahan bentuk ketidaksamaan menjadi persamaan adalah dengan penambahan ‘slack variabel’ atau pengurangan sebesar ‘surplus variabel’.

Terminologi Metoda Simpleks Bentuk Standard : semua batasan adalah persamaan dengan menambah Slack atau mengurangi dengan Surplus. Basic Feasible Solution: Solusi dasar yang ada dengan semua variabel persamaan tujuannya non-negative Basic variable: variabel lainnya yang memenuhi persamaan sistem dalam bentuk standard dan membentuk matriks satuan. Nonbasic variable: Suatu kumpulan variabel dimana variabel tidak membentuk matriks satuan.

Tahapan Metoda Simpleks Merubah permasalahan Programa Linier menjadi bentuk standard. Mencari ‘basic feasible solution (bfs)’ dari bentuk standard. Menentukan bahwa bfs yang sekarang adalah optimal, jika optimal berarti solusi sudah diperoleh. Jika bfs yang sekarang belum optimal, tetapkan variabel non basis mana yang akan menjadi suatu basis variabel dan suatu basis variabel menjadi non basis variabel untuk mendapatkan bfs baru dengan nilai fungsi obyektif yang lebih baik. Kembali ke tahap 3.

Pengubahan Model Ketidaksamaan  Persamaan Model Persamaan Maksimasi : X0 = 4 X1 + 3 X2 +0S1 +0S2 +0S3 +0S4 Pembatas : 2 X1 + 3 X2 + S1 = 6 -3 X1 + 2 X2 + S2 = 3 2 X2 + S3 = 5 2 X1 + X2 + S4 = 4 X1, X2 S1, S2 S3 S4  0 Maksimasi : X0 = 4 X1 + 3 X2 Pembatas : 2 X1 + 3 X2  6 -3 X1 + 2 X2  3 2 X2  5 2 X1 + X2  4 X1, X2  0 S adalah ‘slack variabel’, penambah ketidaksamaan 

Pembentukan Tabel Simpleks 4 2 7 6 1 3 5 Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 . . . . . . Xn c1 c2 c3 . . . . . . cn bj c1 c2 c3 . cm b1 b2 b3 . bm a11 a12 a13 . . . . . . a1n a21 a22 a23 . . . . . . a2n a31 a32 a33 . . . . . . a3n am1 am2 am3 . . . . . . amn (cj bj ) ((aij ci ) – cj)

Penjelasan Tabel Simpleks Kolom 1, berisi variabel basis yaitu variabel-variabel yang membentuk matrik satuan dari kumpulan fungsi pembatas. Kolom 2, berisi konstanta dari variabel basis yang terdapat pada fungsi tujuan. Kolom 3, berisi dari nilai bj,, yaitu nilai pada sisi kanan ketidaksamaan dari fungi pembatas. Kolom 4, Xi merupakan variabel keputusan, ci merupakan konstanta dari fungsi tujuan.

Penjelasan Tabel Simpleks Kolom 5, berisi konstanta dari persamaan - persamaan yang membentuk fungsi pembatas. Kolom 6, berisi nilai hasil perhitungan untuk menentukan variabel basis yang meninggalkan (bukan variabel basis lagi) dengan memilih bj/aij terkecil, dimana aij  0

Penjelasan Tabel Simpleks Kolom 7, berisi nilai-nilai untuk menentukan variabel masuk atau ‘Entering Variable’ (calon variabel basis baru) dengan memilih nilai paling negatif untuk fungsi tujuan maksimum atau sebaliknya untuk fungsi tujuan minimum dari perhitungan rumus ((aij ci ) - cj).

Contoh Soal Model Ketidaksamaan Model Persamaan Maksimasi : X0 = 3X1 + 2X2 + 5X3 +0S1 +0S2 +0S3 Pembatas : X1 + 2X2 + X3 + S1 = 430 3 X1 + 2X3 + S2 = 460 X1 + 4X2 +S3 = 420 X1, X2 ,X3 S1, S2 S3  0 Maksimasi :X0 = 3X1 + 2X2 + 5X3 Pembatas : X1 + 2X2 + X3  430 3X1 + 2X3  460 X1 + 4X2  420 X1, X2 ,X3  0

Langkah Penyelesaian Dengan Simpleks Memindahkan model persamaan matematik ke tabel. S1 ,S2.,S3 merupakan variabel basis, karena membentuk matriks satuan Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 1 2 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 1 4 0 0 0 1 430 460 420

Langkah Penyelesaian Dengan Simpleks 2a. Memindahkan Variabel Slack ke kolom Var Basis. 2b. Memindahkan Koefisien Slack ke kolom X0 Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 1 2 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 1 4 0 0 0 1 S1 S2 S3 430 460 420

Dari nilai-nilai tersebut, X3 merupakan ‘Entering Variable’ Menentukan nilai-nilai untuk mendapatkan ‘Entering variabel’, misal : kolom X1 = ((1*0 + 3*0 + 1*0) – 3) = -3 Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 1 2 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 1 4 0 0 0 1 S1 S2 S3 430 460 420 -3 –2 –5 0 0 0 Dari nilai-nilai tersebut, X3 merupakan ‘Entering Variable’

Menentukan nilai-nilai untuk mendapatkan ‘Leaving variabel’, misal : baris S1 = 430/1 S2 =460/2 Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 430 230 1 2 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 1 4 0 0 0 1 S1 S2 S3 430 460 420 – 3 –2 –5 0 0 0

Membagi baris kedua dengan 2 agar koefisien ‘Leaving variabel’, menjadi 1 Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 1 2 1 1 0 0 1.5 0 1 0 0.5 0 1 4 0 0 0 1 S1 S2 S3 430 230 420 – 3 –2 –5 0 0 0

Membuat koefisien lainnya menjadi 0 Membuat koefisien lainnya menjadi 0. Caranya: -1x koefisien leaving variabel + koefisien pada baris yang akan dinolkan. (-1x230)+430 = 200, (-1x1.5)+1 = -0.5, (-1x0)+2 = 2, (-1x1)+1 = 0, (-1x0)+1 = 1, (-1x0.5)+0 = =0.5, (-1x0)+0 = 0 Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 1 2 1 1 0 0 1.5 0 1 0 0.5 0 1 4 0 0 0 1 S1 S2 S3 430 230 420 – 3 –2 –5 0 0 0

Didasarkan pada tabel sebelumnya, maka var.basis S2 diganti dengan X3 Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 5 - 0.5 2 0 1 -0.5 0 1.5 0 1 0 0.5 0 1 4 0 0 0 1 S1 X3 S3 200 230 420 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 Pivot Point = baris yang digunakan sebagai dasar iterasi Dengan pivot point dilakukan iterasi untuk memperoleh nilai-nilai yang baru dari baris atau var. basis yang lama.

Tentukan Entering dan Leaving variable dengan cara yang sama dengan sebelumnya Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 5 - 0.5 2 0 1 -0.5 0 1.5 0 1 0 0.5 0 1 4 0 0 0 1 100 105 S1 X3 S3 200 230 420 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 Entering Variable Leaving Variabel

Buat koefisien kolom X2 menjadi 1 dengan membagi baris dengan 2, supaya menmbentuk matrik satuan. Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 5 - 0.25 1 0 0.5 -0.25 0 1.5 0 1 0 0.5 0 1 4 0 0 0 1 100 105 S1 X3 S3 100 230 420 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 Entering Variable Leaving Variabel

Membuat koefisien lainnya menjadi 0 Membuat koefisien lainnya menjadi 0. Caranya: -4x koefisien leaving variabel + koefisien pada baris yang akan dinolkan. (-4x1)+4 = 0, (-4x-0.25)+1 = 2, (-4x100)+420 = 20, (-4x0)+0 = 0, (-4x0)+0 = 0, (-4x0.5)+0 = -2, (-4x-0.25)+0 = 1, (-4x0)+1 = 1 Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj 2 5 - 0.25 1 0 0.5 -0.25 0 1.5 0 1 0 0.5 0 1 4 0 0 0 1 100 105 X2 X3 S3 100 230 420 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 Entering Variable Leaving Variabel

Koefisien dari Var Basis RHS Ratio X0 X1 X2 X3 S1 . S2. . S3. 3 2 5 0 0 0 bj X2 X3 S3 2 5 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 1.5 0 1 0 0.5 0 2 0 0 -2 1 1 100 230 20 4 0 0 1 2 0 1350 Dari iterasi berikut, nilai-nilai dari ((aij bj ) - cj). semuanya positif berarti kondisi sudah optimal, dengan hasil X1 = 0 , X2 = 100, X3 = 230 dan keuntungan maksimal adalah 1350.

Soal-Soal LATIHAN Kerjakan Soal Berikut : 1. Maksimasi : X0 = 6X1 - 2X2 Pembatas : X1 - X2  1 3X1 - X2  6 X1, X2  0 2. Maksimasi : X0 = 4X1 + 4X2 Pembatas : 2 X1 + 7X2  1 7 X1 + 2X2  6 X1, X2  0

Soal-Soal LATIHAN Dakota Furniture makes desks, tables, and chairs. Each product needs the limited resources of lumber, carpentry and finishing; as described in the table. At most 5 tables can be sold per week. Maximize weekly revenue. Resources Desk Table Chair Max Avail. Lumber (board feet) 8 6 1 48 Finishing hours 4 2 1.5 20 Carpentry hours 0.5 Max Demand Unlimited 5 Price ($) 60 30