Integral Bergantung Lintasan Integral Kompleks Lintasan Integral Bergantung Lintasan Integral Bebas (Tidak Bergantung) Lintasan Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Lintasan # 1 Misal z(t) : I  C merupakan fungsi kompleks dengan domain real, I = [ a, b ], maka fungsi z(t) dinyatakan : z(t) merupakan lintasan dari A ke B, notasi : C Re = x(t) Im = y(t) B = z(b) C A = z(a) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Gambarkan bentuk lintasan C untuk –1  t  1 yang dinyatakan : x((t) = t  1 C -1 1 Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Lintasan # 2 Turunan dan Integral dari persamaan lintasan dinyatakan sebagai berikut : Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Contoh Hitung turunan dan integral dari persamaan lintasan berikut : Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Jenis Lintasan (1). Lintasan Buka Def : bila ujung lintasan tidak berimpit (2). Lintasan Tutup Def : bila ujung lintasan berimpit (a). Lintasan Tutup Sederhana (b). Lintasan Tutup Tidak Sederhana C C C C Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Integral Lintasan Integral dari fungsi kompleks f(z) atas lintasan C disebut integral lintasan atau integral garis atau integral contour dan dinyatakan : C : lintasan tutup Sifat integral lintasan : C1 C2 C z1 z0 Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bergantung Lintasan # 1   Jenis lintasan : Lingkaran Ellips Garis Kurva Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bergantung Lintasan # 2 - LINGKARAN C a - a Y ( x, y ) C : z(t) = x(t) + i y(t) ; 0  t  2 r t = r cos t + i r sin t = r ( cos t + i sin t ) = r eit z(t) C a i - a i X Y z0 C : z(t) = z0 + r eit, 0  t  2 Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Hitung integral dari f(z) = x - iy atas lintasan C berbentuk lingkaran satuan dengan arah berlawanan jarum jam ; 0  t  2 ; x = cos t dan y = sin t Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bergantung Lintasan # 3 ELLIPS (x0,y0) ( x,y ) t x0 +a x0- a y0+b y0- b z(t) = z0 + a cos t + i b sin t dengan 0  t  2 dan z0 = ( x0,y0 ) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Hitung integral dari f(z) = x - i y dan lintasan C berlawanan arah dengan jarum jam berbentuk ellips :  z(t) = cos t + 2 i sin t , dengan 0  t  2 z ‘ ( t ) = - sin t + 2 i cos t Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bergantung Lintasan # 4 GARIS Ruas garis dari titik z0 ke titik z1 t = 1 z0 z1 Dipilih untuk 0  t  1 t = ¾ t = ½ t = 0 t = ¼ t = ½  z(t) = z0 + ½ ( z1 – z0 ) t = 1/4  z(t) = z0 + 1/4 ( z1 – z0 ) t = 3/4  z(t) = z0 + 3/4 ( z1 – z0 ) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Hitung integral dari : atas ruas garis dari z = 0 ke z = 1 + i z(t) = t + ti , dengan 0  t  1 z ‘ (t) = 1 + i Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bergantung Lintasan # 5 KURVA Lintasan C berupa kurva y = f(x) dari titik (x0,y0) ke (x1,y1). y = f(x) (x1,y1) (x0,y0) C Misal x = t maka z(t) = t + i f(t) dengan x0 t  x1 Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Hitung integral dari f(z) atas lintasan C sepanjang kurva y = x2 dari titik ( 0,0 ) ke titik ( 1,1 ). lintasan C : z(t) = x(t) + i y(t) = t + i t2 dengan 0 t  1 Turunan dari z(t) , z ‘ (t) = 1+ 2 i t Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Nyatakan dalam z = z(t), a  t  b Segmen garis dari z = 2 + 3i ke z = -2i + 4 Segmen garis dari z = 3 – i ke z = 2 + i | z – 3i| = 1 dengan arah berlawanan jarum jam | z + 2 – i| = 2 dengan arah positif y = 2x – x2 dari (0,0) ke (1,1) y = 1 + x2 dari (-1,2) ke (2,5) Hitung integral dari fungsi f(z) atas lintasan C f(z) = 2z + i ( z - 2) dengan C dari 1(a) f(z) = 2x + i ( x + 2y) dengan C dari 1(d) f(z) = Im ( z2 – i) dengan C dari 1(e) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bebas Lintasan # 1 Domain D disebut tersambung sederhana bila setiap lintasan tutup sederhana dalam D melingkupi titik-titik pada D. D Tersambung Sederhana Tidak Tersambung Sederhana D Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bebas Lintasan # 2 Integral fungsi f(z) yang analitik pada D, domain tersambung sederhana terhadap setiap lintasan C  D yang menghubungkan dari titik a ke b dengan F ‘ (z ) = f ( z ) untuk z di D Disebut integral Bebas Lintasan artinya nilai integral akan sama untuk setiap bentuk lintasan asalkan lintasan mempunyai ujung yang sama Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bebas Lintasan # 2 Misal integral dari fungsi f(z) analitik terhadap lintasan tutup C bebas lintasan, maka : Contoh : Hitung integral f(z) = z sin z pada lintasan C berupa ruas garis yang menghubungkan dari titik (,3) ke titik (2,- ) f(z) = z sin z : fungsi entire, sehingga analitik pada domain tersambung sederhana yang memuat lintasan C. Oleh karena itu, integral lintasan dari f(z) tidak bergantung (bebas ) dari bentuk lintasan. Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Integral Bebas Lintasan # 3 Gunakan Integral parsial : u = z  du =dz dv = sin z dz  v = -cos z Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Apakah integral dari f(z) atas lintasan C bebas lintasan ? Cari nilai integralnya f(z) = e-2z dan C ; segmen garis dari (-2,1) ke (3,2) f(z) = 1 / ( z – 4i) dan C lingkaran satuan dengan arah berlawanan jarum jam f(z) = x2 – 2xy – y2 + i ( x2 + 2xy – y2) dan C merupakan kurva y = 2x2 – 3 dari titik ( 0,-3) menuju titik (2,5) Jumat, 28 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)