SMK/MAK Kelas X Semester 1 Matematika SMK/MAK Kelas X Semester 1 Disusun oleh: Anna Yuni Astuti Disklaimer Daftar isi

Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013. Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja. Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan. Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.

DAFTAR ISI Bab 1. Pangkat, Akar, dan Logaritma Bab 2. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bab 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Bab 4. Program Linear Bab 5. Barisan dan Deret

Pangkat Akar dan Logaritma A. Pangkat Bulat B. Bentuk Akar C. Merasionalkan Penyebut D. Pangkat Pecahan E. Logaritma Kembali ke daftar isi

A. Pangkat Bulat 1. Pangkat Bulat Positif 2. Pangkat Nol 3. Pangkat Bulat Negatif 4. Sifat-Sifat pada Pangkat Bulat Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pangkat Bulat Positif Jika a ∈ bilangan real dan n ∈ bulat positif maka an (dibaca a pangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n kali (n faktor). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pangkat Nol Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Pangkat Bulat Negatif Jika a ∈ bilangan real, a ≠ 0 dan n ∈ bilangan bulat positif, berlaku: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Sifat-Sifat pada Pangkat Bulat Jika a, b ∈ bilangan real dan p, q ∈ bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Bentuk Akar 1. Akar Pangkat n suatu Bilangan 2. Bentuk Akar 3. Sifat-Sifat Bentuk Akar 4. Operasi Hitung pada Bentuk Akar Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Akar Pangkat n Suatu Bilangan Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan real. Jika berlaku bn = a maka b disebut sebagai akar pangkat n dari a. Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Bentuk Akar Bentuk akar adalah akar-akar bilangan rasional yang hasilnya bukan bilangan rasional (irasional). Contoh: merupakan bilangan bentuk akar bukan bilangan bentuk akar Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Sifat-Sifat Bentuk Akar Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Operasi Hitung pada Bentuk Akar Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Bentuk-bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan yaitu bentuk akar yang sejenis. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Perkalian Bentuk Akar 1). Bentuk-bentuk akar yang langsung dapat dikalikan adalah bentuk akar yang senama (akar pangkat sama). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2) Jika bentuk-bentuk akar belum senama, pangkat akar disamakan terlebih dahulu, lalu dikalikan. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Merasionalkan Penyebut 2. Menyederhanakan Bentuk Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Merasionalkan Penyebut Pecahan dengan penyebut irasional dapat diubah menjadi pecahan dengan penyebut rasional. Caranya dengan mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Menyederhanakan Bentuk . Bentuk dapat disederhanakan menjadi bentuk berikut. Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. 2. Nyatakan bentuk berikut ke dalam bentuk Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

D. Pangkat Pecahan 1. Pangkat Pecahan 2. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Pangkat Pecahan Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pangkat Pecahan Untuk a ∈ bilangan real dan n ∈ bilangan bulat positif berlaku : Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Pangkat Pecahan Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

E. Logaritma 1. Pengertian Logaritma 2. Nilai Logaritma 3. Sifat-Sifat Logaritma Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pengertian Logaritma Logaritma merupakan kebalikan (invers) dari pemangkatan. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Nilai Logaritma Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Sifat-Sifat Logaritma Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak II A. Konsep Nilai Mutlak B. Persamaan Nilai Mutlak C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Kembali ke daftar isi

A. Konsep Nilai Mutlak 1. Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan 2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak 3. Fungsi Nilai Mutlak 4. Menggambar Grafik Fungsi Mutlak dari Fungsi Linearnya Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan Nilai mutlak bilangan x, dinotasikan dengan |x|, didefinisikan sebagai berikut. |x| = jarak x dari titik nol pada garis bilangan Contoh: |5| = 5 |–9| = 9 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Fungsi Nilai Mutlak Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang variabelnya di dalam tanda mutlak. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Menggambar Grafik Fungsi Nilai Mutlak dari Fungsi Linearnya Grafik fungsi mutlak linear y = |f(x)| dapat digambar dengan cara menggambar grafik fungsi linear f(x), lalu mencerminkan terhadap sumbu X grafik fungsi f(x) yang berada di bawah sumbu X. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Persamaan Nilai Mutlak Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak a. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak b. Menggunakan Grafik c. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak d. Menggunakan Cara Menguadratkan Kedua Ruas Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Persamaan Nilai Mutlak Bentuk umum persamaan nilai mutlak sebagai berikut. |f(x)| = c dengan syarat c ≥ 0 |f(x)| = |g(x)| |f(x)| = g(x) dengan syarat g(x) ≥ 0 Penyelesaian persamaan yang memuat nilai mutlak adalah bilangan-bilangan pengganti dari variabel yang membuat persamaan menjadi pernyataan bernilai benar. Contoh: Untuk x = 5 maka |x – 2| = |5 – 2| = 3 Untuk x = –1 maka |x – 2| = |(–1) – 2| = 3 Penyelesaian persamaan |x – 2| = 3 adalah 5 atau –1. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak a. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak Sebagai Jarak b. Menggunakan Grafik c. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak d. Menggunakan Cara Menguadratkan Kedua Ruas Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

a. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak sebagai Jarak Menurut definisi, nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan sebagai jarak bilangan dari nol. Sebagai contoh |3| = jarak 3 dari 0 dan |–3| = jarak –3 dari 0. Bentuk |x – 2| = 3 dapat dibaca jarak x dari 2 sama dengan 3. Penyelesaian |x – 2| = 3 adalah x = –1 atau x = 5. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Menggunakan Grafik Kedua ruas persamaan dimisalkan sebagai fungsi dan digambar grafiknya dan ditentukan titik potong kedua grafik tersebut. Persamaan |x – 2| = 3. Misalkan y1 = |x – 2| dan y2 = 3. Kedua grafik berpotongan di x = 5 atau x = –1. Penyelesaian |x – 2| = 3 adalah x = 5 atau x = –1. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak Dari definisi nilai mutlak dapat diperoleh hubungan sebagai berikut. |ax + b| = c ⇔ ax + b = c atau –(ax + b) = c ⇔ ax + b = c atau ax + b = –c Persamaan|ax + b| = c dapat diselesaikan dengan menyelesaikan ax + b = c atau ax + b = –c. Contoh: |x – 2| = 3 ⇔ x – 2 = 3 atau x – 2 = –3 ⇔ x = 5 atau x = –1 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

d. Menggunakan Cara Menguadratkan Kedua Ruas Menyelesaikan persamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas hanya boleh dilakukan jika kedua ruas bernilai positif |x – 2| = 3 Oleh karena kedua ruas bernilai positif, kedua ruas boleh dikuadratkan. ⇔ |x – 2|2 = 32 ⇔ (x – 2)2 = 32 ⇔ (x – 2)2 – 32 = 0 ⇔ (x – 2 + 3)(x – 2 – 3) = 0 ⇔ (x + 1)(x – 5) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 5 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan penyelesaian persamaan berikut menggunakan cara grafik, cara analisis nilai x, dan cara menguadratkan kedua ruas. 1. |2x – 6| = |x| 2. |x + 3| – |x – 2| = 4 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak a. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak b. Menggunakan Grafik c. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak d. Menggunakan Cara Menguadratkan Kedua Ruas Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Misalkan f(x) suatu fungsi dalam variabel x maka berlaku fungsi nilai mutlak |f(x)| sebagai berikut. a. Jika |f(x)| ≤ a maka –a ≤ f(x) ≤ a. b. Jika |f(x)| ≥ a maka f(x) ≤ –a atau f(x) ≥ a. Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak a. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak Sebagai Jarak b. Menggunakan Grafik c. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak d. Menggunakan Cara Menguadratkan Kedua Ruas Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

a. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak sebagai Jarak Pertidaksamaan |x – 2| ≤ 3 dapat diterjemahkan menjadi jarak bilangan x dari 2 kurang dari atau sama dengan3. Penyelesaian |x – 2| ≤ 3 adalah –1 ≤ x ≤ 5. Menggunakan cara yang sama, coba tentukan penyelesaian |x – 2| ≥ 3. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Menggunakan Grafik Persamaan |x – 2|  3. Misalkan y1 = |x – 2| dan y2 = 3. Penyelesaian y1  y2 adalah nilai-nilai x yang membuat grafik fungsi y1 berada di bawah grafik y2. Grafik fungsi y1 berada di bawah grafik y2 untuk –1  x  5. Penyelesaian |x – 2|  3 adalah –1  x  5. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak Ingat definisi nilai mutlak. Jika |f(x)| < a maka –a < f(x) < a. Jika |f(x)| ≥ a maka f(x) ≤ –a atau f(x) ≥ a. Pertidaksamaan nilai mutlak: |ax + b| < c ⇔ –c < ax + b < c |ax + b| ≥ c ⇔ ax + b ≥ –c atau ax + b ≥ c Pertidaksamaan |x – 2| ≤ 3. ⇔ –3 ≤ x – 2 ≤ 3 ⇔ –3 + 2 ≤ x – 2 + 2 ≤ 3 + 2 ⇔ –1 ≤ x ≤ 5 Penyelesaian |x – 2| ≤ 3 adalah –1 ≤ x ≤ 5 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

d. Menggunakan Cara Menguadratkan Kedua Ruas Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas hanya boleh dilakukan jika kedua ruas bernilai positif. Pertidaksamaan|x – 2|  3 Oleh karena kedua ruas pertidaksamaan bernilai positif, kedua ruas boleh dikuadratkan. ⇔ |x – 2|2  32 ⇔ (x – 2)2  32 ⇔ (x – 2)2 – 32  0 ⇔ (x – 2 + 3)(x – 2 – 3)  0 ⇔ (x + 1)(x – 5)  0 ⇔ –1  x  5 Penyelesaian |x – 2|  3 adalah –1  x  5. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut. a. |3x – 1| < 8 b. |9 – 2x| > 11 c. |2x – 1| < |x + 2| d. |2 – x2| ≥ 3 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel III Sistem Persamaan Linear Dua Variabel A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel C. Menyelesaikan Masalah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Kembali ke daftar isi

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan linear dua variabel merupakan persamaan linear yang hanya memiliki dua variabel. Bentuk umum persamaan linear dua variabel dalam x dan y: ax + by = c Contoh: 1) 2x – y = 4 2) 4x – 5y = 1 + 3y Penyelesaian persamaan linear dua variabel adalah pasangan-pasangan nilai (x, y) yang menyebabkan persamaan ax + by = c bernilai benar. Penyelesaian persamaan ax + by = c jika digambarkan berupa garis lurus ax + by = c. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) merupakan kumpulan beberapa persamaan linear dua variabel yang saling terkait. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel dalam x dan y: ax + by = c dx + ey = f Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah pasangan-pasangan nilai (x, y) yang menyebabkan semua persamaan dalam sistem bernilai benar. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kemungkinan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV): mempunyai 1 penyelesaian, tidak mempunyai penyelesaian, atau mempunyai banyak penyelesaian Contoh: SPLDV x + 2y = 5 dan 3x – y = 1 mempunyai penyelesaian (1, 2) saja. SPLDV x + 2y = 5 dan x + 2y = 1 tidak mempunyai penyelesaian. SPLDV x + 2y = 5 dan 2x + 4y = 10 mempunyai banyak penyelesaian. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 1. Metode Grafik 2. Metode Eliminasi 3. Metode Substitusi 4. Metode Eliminasi-Substitusi Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Metode Grafik Menyelesaikan SPLDV menggunakan metode grafik dilakukan dengan menggambar grafik dari kedua persamaan pada satu bidang kartesius. Koordinat titik potong kedua grafik merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan metode grafik. 2x – 3y = –10 . . . (1) x + 2y = 2 . . . (2) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Menggambar grafik persamaan 2x – 3y = –10 dan x + 2y = 2 pada satu bidang kartesius. Kemudian menentukan koordinat titik potong kedua grafik. Tabel titik bantu 2x – 3y = –10: Tabel titik bantu x + 2y = 2: Grafik kedua persamaan tampak seperti gambar di samping. Titik potong kedua grafik adalah (–2, 2). Penyelesaian SPLDV tersebut adalah (–2, 2). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Metode Eliminasi Menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya. Contoh: Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan metode eliminasi. 2x – 3y = –10 . . . (1) x + 2y = 2 . . . (2) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Metode Substitusi Menyelesaikan SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara berikut. a. Ambil satu variabel pada salah satu persamaan. Selanjutnya, nyatakan variabel tersebut dalam variabel lain. Dengan begitu akan diperoleh persamaan dalam bentuk baru. Substitusikan persamaan baru tersebut ke persamaan yang lain. Kemudian, selesaikan persamaan tersebut. Contoh: Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan metode substitusi. 2x – 3y = –10 . . . (1) x + 2y = 2 . . . (2) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Metode Eliminasi Substitusi Untuk menentukan penyelesaian suatu SPLDV dapat pula menggunakan kombinasi atau campuran antara metode substitusi dan eliminasi. Penggunaan metode ini dapat mempermudah/mempercepat pengerjaan penyelesaian SPLDV. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Menyelesaikan Masalah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Langkah-langkah mengubah permasalahan sehari-hari menjadi SPLDV dilakukan sebagai berikut. Tentukan variabel-variabelnya, lalu lakukan pemisalan. Terjemahkan permasalahan tersebut menjadi model matematika berbentuk SPLDV. Selesaikan model matematika yang diperoleh pada langkah 2. Selanjutnya, nilai-nilai variabel yang telah diperoleh dicocokkan dengan pemisalan awal sehingga permasalahan dapat diselesaikan. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Tiket masuk sebuah tempat wisata terdiri atas tiket dewasa dan tiket anak-anak. Pada hari Minggu terjual 100 tiket dewasa dan 250 tiket anak-anak. Hasil penjualan tiket tersebut sebesar Rp4.500.000,00. Pada hari Senin terjual 60 tiket dewasa dan 180 tiket anak. Hasil penjualan tiket pada hari Senin sebesar Rp3.000.000,00. Tentukan: a. harga 1 tiket anak-anak; b. hasil penjualan tiket pada hari Selasa jika terjual 50 tiket dewasa dan 100 tiket anak Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

IV Program Linear A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel B. Program Linear Kembali ke daftar isi

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 2. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan linear dua variabel merupakan pertidaksamaan yangmemiliki dua variabel dan setiap variabel memiliki pangkat satu. Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel dalam variabel x dan y: ax + by ≤ c ax + by ≥ c ax + by < c ax + by > c Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian pertidaksamaan dua variabel merupakan himpunan pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Jika digambarkan pada bidang koordinat kartesius, himpunan pasangan bilangan (x, y) tersebut berada dalam suatu daerah yang disebut daerah penyelesaian (DP). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan linear dua variabel. Langkah 1: Menggambar garis pembatas Jika PtLDV memiliki tanda ketidaksamaan ≤ atau ≥, garis pembatas digambarkan utuh. Jika PtLDV memiliki tanda ketidaksamaan < atau >, garis pembatas digambarkan putus-putus. Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan DP

Menentukan daerah penyelesaian (DP) pertidaksamaan x + 3y > 6. Langkah 1: Menggambar garis pembatas PtLDV x + 3y > 6 memiliki tanda ketidaksamaan >, garis pembatas digambarkan putus-putus. Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan DP Mensubstitusikan titik (0, 0) ke dalam pertidaksamaan x + 3y > 6. x + 3y > 6 ⇔ 0 – 3  0 > 6 ⇔ 0 > 6 (salah) Oleh karena pernyataan 0 > 6 bernilai salah maka DP dibatasi garis x + 3y = 6 dan tidak memuat titik (0, 0).

Daerah penyelesaian x + 3y > 6 (DP) dibatasi garis x + 3y = 6 dan tidak memuat titik (0, 0). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPLDV) merupakan kumpulan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel yang saling terkait. Salah satu bentuk umum sistem pertidaksamaan linear dua variabel dalam x dan y: ax + by > c dx + ey  f Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah himpunan nilai (x, y) yang menyebabkan semua pertidaksamaan dalam sistem bernilai benar. Daerah penyelesaian SPtLDV berupa daerah irisan dari penyelesaian setiap pertidaksamaan di dalam sistem. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Tentukan daerah penyelesaian SPtLDV: Daerah penyelesaian SPtLDV ditentukan dengan menentukan penyelesaian setiap pertidaksamaan dalam sistem lalu menentukan daerah irisannya. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Daerah irisannya: Daerah penyelesaian sistem x + y < 2 dan x – 2y  4 ditunjukkan oleh daerah yang diarsir. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Program Linear 1. Model Matematika 2. Nilai Optimum Fungsi Tujuan Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Model Matematika Model matematika pada permasalahan program linear berupa SPtdLDV. SPtdLDV tersebut dinamakan pembatas atau kendala. Contoh: Seorang pengusaha mebel akan memproduksi meja dan kursi menggunakan bahan dari kayu dengan ukuran tertentu. Satu meja memerlukan bahan 10 potong kayu dan satu kursi memerlukan bahan 5 potong kayu. Pengusaha memiliki persediaan kayu 500 potong. Banyak meja yang akan diproduksi paling sedikit 10 unit dan banyak kursi yang akan diproduksi paling sedikit 20 unit. Biaya produksi meja 210.000 rupiah per unit dan biaya produksi kursi 100.000 rupiah per unit. Berapa biaya produksi minimum meja dan kursi tersebut? Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Jawaban: Langkah 1: Membuat model matematika permasalahan Misalkan: x adalah banyak meja yang akan diproduksi. y adalah banyak kursi yang akan diproduksi. Banyak meja yang akan diproduksi paling sedikit 10 unit sehingga diperoleh pertidaksamaa: x ≥ 10 . . . (1) Banyak kursi yang akan diproduksi paling sedikit 20 unit sehingga diperoleh pertidaksamaan y ≥ 20 . . . (2) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1 unit meja memerlukan kayu10 potong 1 unit meja memerlukan kayu10 potong. x unit meja memerlukan kayu 10x potong. 1 unit kursi memerlukan kayu 5 potong. y unit kursi memerlukan kayu 5y potong. x unit meja dan y unit kursi memerlukan kayu (10 x + 5y) potong. Persediaan kayu 500 potong berarti (10 x + 5y) kurang dari atau sama dengan 500 sehingga diperoleh pertidaksamaan 10x + 5y ≤ 500 . . . (3) Biaya produksi meja 210.000 rupiah per unit dan biaya produksi kursi 100.000 rupiah per unit sehingga diperoleh fungsi tujuan: f(x, y) = 210.000x + 100.000y . . . (4) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (3) dan persamaan (4) diperoleh model matematika sebagai berikut. Meminimumkan fungsi tujuan f(x, y) = (210x + 100y) ribu dengan kendala: x ≥ 10 y ≥ 20 10x + 5y ≤ 500 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Nilai Optimum Fungsi Tujuan Fungsi tujuan disebut juga fungsi sasaran atau fungsi objektif. Nilai fungsi tujuan f(x, y) = ax + by tergantung dari nilai-nilai x dan y yang memenuhi kendala. Nilai fungsi tujuan bisa minimum atau maksimum. Nilai minimum atau nilai maksimum disebut juga nilai optimum atau nilai ekstrim. Nilai optimum fungsi tujuan dapat ditentukan menggunakan metode uji titik pojok dan metode garis selidik. a. Menggunakan Metode Garis Selidik b. Menggunakan Metode Uji Titik Pojok Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

a. Menggunakan Metode Garis Selidik Tentukan penyelesaian memaksimumkan fungsi tujuan f(x, y) = 17.000x + 20.000y dengan kendala: Persamaan fungsi tujuan: f(x, y) = 17.000x + 20.000y = (17x + 20y) ribu sehingga persamaan garis selidik adalah 17x + 20y = k dengan k ∈ bilangan real. Misalkan dipilih k = 17 × 20 maka diperoleh persamaan garis selidik awal f0: 17x + 20y = 340. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan dan garis-garis yang sejajar dengan f0: 17x + 20y = 340 dan melalui setiap titik pojok daerah penyelesaian. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Menentukan persamaan garis selidik yang sejajar dengan f0 yaitu f(x, y) = ax + by. Jika memaksimumkan fungsi tujuan, dipilih nilai k terbesar. Jika meminimumkan fungsi tujuan, dipilih nilai k terkecil. Dengan mensubstitusikan titik A(25, 30), B(115,30), dan C(25, 120) ke dalam persamaan fungsi tujuan f(x, y) = 17x + 20y diperoleh persamaan f1: 17x + 20y = 1.025, f2: 17x + 20y = 2.555, dan f3: 17x + 20y = 2.825 Nilai k terbesar adalah k3 = 2.825 sehingga nilai maksimum fungsi tujuan f(x, y) = (17x + 20y) ribu adalah 2.825 ribu atau 2.825.000. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Menggunakan Metode Uji Titik Pojok Nilai optimum fungsi tujuan dapat ditentukan menggunakan metode uji titik pojok yaitu dengan menguji titik pojok daerah penyelesaian. Perhatikan kembali titik pojok daerah penyelesaian pada pembahasan metode garis selidik di muka. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Dari Gambar 4.9 diperoleh titik pojok daerah penyelesaian yaitu titik A(25, 30), B(115, 30), dan C(25, 120). Uji titik pojok ke fungsi tujuan f(x, y) = 17.000x + 20.000y Dari diperoleh nilai maksimum fungsi tujuan f(x, y) = 17.000x + 20.000y adalah 2.825.000 . Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

V Barisan dan Deret A. Barisan dan Deret Aritmetika B. Barisan dan Deret Geometri C. Aplikasi Barisan dan Deret Bilangan Kembali ke daftar isi

A. Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika 2. Deret Aritmetika Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Barisan Aritmetika Barisan aritmetika disebut juga barisan hitung. Perhatikan contoh barisan aritmetika berikut. Barisan aritmetika mempunyai selisih yang sama di antara dua suku berurutan. Selisih tersebut disebut dengan beda. Beda pada barisan aritmetika: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Rumus suku ke-n (Un) barisan aritmetika: Dengan a = U1 = suku pertama, n = nomor suku, b = beda barisan Contoh: Suku ke-50 barisan aritmetika 17, 10, 3, –4, . . . adalah . . . . Jawaban: Suku ke-50: U50 = 17 + (50 – 1) × (–7) = 17 + 49 × (–7) = 17 + (–343) = –326 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Tentukan tiga suku pertama dari barisan aritmetika jika diketahui Un dan b berikut. a. U9 = 20; b = 5 b. U23 = –3; b = – 3 Suku ketiga suatu barisan aritmetika sama dengan 11, sedangkan suku kesepuluh sama dengan 39. a. Carilah suku pertama dan beda barisan itu. b. Carilah rumus suku ke-n. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Deret Aritmetika Jika suku-suku suatu barisan aritmetika dijumlahkan maka akan diperoleh deret aritmetika. Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Contoh: 4 + 11 + 18 + 25 Deret aritmetika dengan 4 suku 26 + 20 + 14 + 8 + 2 Deret aritmetika dengan 5 suku Hasil penjumlahan suku-suku deret aritmetika disebut dengan jumlah n suku pertama. Deret aritmetika 4 + 11 + 18 + 25. Jumlah 1 suku pertama = 4 Jumlah 2 suku pertama = 4 + 11 = 15 Jumlah 3 suku pertama = 4 + 11 + 18 = 33 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Rumus jumlah n suku pertama (Sn) barisan aritmetika: Dengan a = U1 = suku pertama, n = nomor suku b = beda barisan Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Diketahui barisan aritmetika 25, 19, 13, 7, . . . . Tentukan jumlah 12 suku pertama barisan tersebut. Feri menabung di sebuah bank setiap bulan. Pada bulan pertama ia menabung Rp50.000,00. Pada bulan-bulan berikutnya uang yang ia tabung selalu lebih besar Rp5.000,00 daripada bulan sebelumnya. a. Berapa jumlah tabungan Feri setelah setahun? b. Setelah berapa tahun jumlah tabungan Feri menjadi Rp1.665.000,00? Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri 2. Deret Geometri Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Barisan Geometri Dari kedua contoh barisan geometri tersebut terlihat setiap dua suku yang berurutan pada barisan geometri memiliki rasio yang sama. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Rasio dua suku yang berurutan pada barisan geometri dirumuskan dengan Misalkan U1, U2, U3, U4, U5, . . . , Un merupakan suku-suku barisan geometri. Rumus suku ke-n barisan tersebut dinyatakan dengan: Rasio dua suku yang berurutan pada barisan geometri dirumuskan dengan Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Deret Geometri Jika suku-suku suatu barisan geometri dijumlahkan maka akan diperoleh deret geometri. Deret geometri disebut juga deret ukur. Contoh deret geometri sebagai berikut. Deret 1: 1 + 2 + 4 + 8 +16 Deret 2: 162 + 54 + 8 + 6 + 2 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri: dengan: a merupakan suku pertama n merupakan banyak suku r merupakan rasio Sn adalah jumlah n suku pertama Sn – 1 adalah jumlah (n – 1) suku pertama Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Deret Geometri Tak Hingga Barisan geometri yang mempunyai banyak suku tak hingga disebut barisan geometri tak hingga. Contoh barisan geometri tak hingga: Rumus jumlah deret geometri tak hingga: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Aplikasi Barisan dan Deret Bilangan 1. Pertumbuhan 2. Peluruhan 3. Bunga Majemuk 4. Anuitas Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pertumbuhan Pada bahasan ini, pertumbuhan yang dimaksud adalah pertumbuhan eksponensial, yaitu pertumbuhan menurut deret ukur (geometri). Pertumbuhan selalu bertambah dengan suatu persentase yang tetap dalam jangka waktu tertentu. Misalkan pertumbuhan nilai suatu benda setiap tahun adalah r. Jika nilai awal benda adalah H maka pertambahan nilai benda adalah H  r. Rumus umum nilai benda setelah t tahun: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Pada tahun 2000 penduduk suatu negara tercatat 25 juta jiwa. Jika tingkat pertumbuhannya mencapai 3% per tahun, tentukan perkiraan jumlah penduduk di negara tersebut pada tahun 2020. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Peluruhan Peluruhan yang dimaksud adalah peluruhan eksponensial, yaitu peluruhan menurut deret ukur (geometri). Peluruhan selalu berkurang dengan suatu persentase yang tetap dalam jangka waktu tertentu. Misalkan peluruhan nilai suatu benda setiap tahun adalah r. Jika nilai awal benda adalah H maka penyusutan nilai benda adalah H × r. Rumus umum nilai benda setelah t tahun: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Diketahui harga beli sebuah sepeda motor Rp15.000.000,00 dan harga jualnya menurun sebesar 10% setiap tahun. Tentukan harga jual sepeda motor setelah pemakaian selama lima tahun. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Bunga Majemuk Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung atas jumlah pinjaman pokok ditambah bunga yang diperoleh sebelumnya. Uang yang dibungakan dengan bunga majemuk akan bertambah sebagaimana pertumbuhan. Misalkan nilai awal uang (modal) adalah M dan pertambahannya dalam periode waktu tertentu adalah suku bunga yang berlaku, yaitu i. Nilai uang setelah t periode dirumuskan: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal 1. Modal sebesar Rp4.000.000,00 ditabung dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Tentukan besar modal setelah 4 tahun. 2. Pak Junaidi menginvestasikan modal sebesar Rp20.000.000,00 di bank dengan suku bunga majemuk 4% per semester. Jika modal tersebut menjadi Rp27.372.000,00, berapa tahun Pak Junaidi menginvestasikan modalnya? Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Anuitas Anuitas adalah suatu pembayaran atau penerimaan uang setiap jangka waktu tertentu dalam jumlah sama atau tetap. Jangka waktu tertentu tersebut dinamakan periode. Pembayaran secara anuitas dilakukan setiap akhir periode. Periode pembayaran bisa setiap bulan, triwulan, kuartal, semester, atau setiap tahun. Jumlah pembayaran anuitas terdiri atas angsuran dan bunga. Nilai anuitas A dari suatu pinjaman M dengan suku bunga i% dirumuskan dengan: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Hubungan Antara Anuitas, Angsuran, Bunga, dan Sisa Pinjaman Nilai anuitas sama pada setiap akhir periode pembayaran. Anuitas terdiri atas angsuran dan bunga. Nilai anuitas merupakan jumlahan antara angsuran dan bunga. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Suatu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas dan diangsur setiap tiga bulan selama dua tahun. Suku bunga yang diberikan sebesar 2% per tiga bulan. Jika besar angsuran pertama Rp600.000, hitunglah: a. besar anuitas; b. besar bunga tiga bulan pertama; c. besar pinjaman; d. sisa pinjaman setelah diangsur selama setahun. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Terima Kasih Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab