MATEMATIKA Oleh : Devie Rosa Anamisa

Pembahasan Sistem Bilangan Real Sistem Bilangan Real Pertidaksamaan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Nilai Mutlak Persamaan Kuadrat Persamaan Kuadrat Fungsi Dan limit Fungsi Dan limit Turunan Turunan

Sistem Bilangan Real Bilangan asli : 1,2,3.... Bilangan asli : 1,2,3.... Bilangan bulat :....,-3,-2,-1,0, 1,2,3,.... Bilangan bulat :....,-3,-2,-1,0, 1,2,3,.... Bilangan Real : semua bilangan rasional dan tak rasional. Bilangan Real : semua bilangan rasional dan tak rasional. Bilangan rasional : bilangan yang dapat ditulis dalam m/n. contoh : 1/2, ¾,... Bilangan rasional : bilangan yang dapat ditulis dalam m/n. contoh : 1/2, ¾,... Bilangan tak rasional : √2, √3,.... Bilangan tak rasional : √2, √3,....

Cont... Jadi himpunan bilangan dapat digambarkan : Jadi himpunan bilangan dapat digambarkan :

Sifat-Sifat Dari Operasi Aritmatika Hukum Komutatif : x + y = y + x dan Hukum Komutatif : x + y = y + x dan xy = yx xy = yx Hukum asosiatif : x + (y + z) = (x+y) + z dan x(yz) = (xy)z Hukum asosiatif : x + (y + z) = (x+y) + z dan x(yz) = (xy)z Hukum distribusi : x(y+z) = xy + xz Hukum distribusi : x(y+z) = xy + xz Contoh : 4 – 2 (8-11)+6 = 4 – (2.8 – 2.11) + 6 = 4 – ( ) + 6 = 4 – ( ) + 6 = 4 – = 4 – = 16 = 16

Pertidaksamaan Sama halnya dengan persamaan, prosedur untuk menyelesaikan ketidak samaan terdiri atas pengubahan ketidaksamaan satu langkah tiap kali sampai himpunan pemecahan jelas. Sama halnya dengan persamaan, prosedur untuk menyelesaikan ketidak samaan terdiri atas pengubahan ketidaksamaan satu langkah tiap kali sampai himpunan pemecahan jelas. Contoh : Contoh : Selesaikan ketidaksamaan – 5 ≤ 2x + 6 < 4 Selesaikan ketidaksamaan – 5 ≤ 2x + 6 < 4 dan perlihatkan grafik himpunan dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaian! penyelesaian!

Cont..... Jawab : Jawab : – 5 ≤ 2x + 6 < 4 – 5 ≤ 2x + 6 < ≤ 2x < 4 – ≤ 2x < 4 – ≤ 2x < ≤ 2x < /2 < x < -1

Nilai Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan dengan |x| didefinisikan : Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan dengan |x| didefinisikan : |x| = x jika x ≥ 0 |x| = x jika x ≥ 0 |x| = - x jika x < 0 |x| = - x jika x < 0 misal : |-5| = -(-5) = 5 misal : |-5| = -(-5) = 5 Sifat dari nilai mutlak : Sifat dari nilai mutlak : |ab| = |a| |b| |ab| = |a| |b| |a/b| = |a| / |b| |a/b| = |a| / |b|

Cont... |a+b| ≤ |a| + |b| |a+b| ≤ |a| + |b| |a-b| ≥ |a| - |b| |a-b| ≥ |a| - |b| Ketidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak : Ketidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak : |x| < a  -a < x < a |x| < a  -a < x < a |x| > a  x a |x| > a  x a Contoh : Contoh : selesaikan ketidaksamaan |x-4| < 1.5 dan perlihatkan himpunan penyelesaikan pada garis real. selesaikan ketidaksamaan |x-4| < 1.5 dan perlihatkan himpunan penyelesaikan pada garis real. Jawab : Jawab : |x-4| < 1.5 |x-4| < < x – 4 < < x – 4 < < x < < x < 5.5

Persamaan Kuadrat Parabola merupakan salah satu bentuk persamaan kuadrat. Parabola merupakan salah satu bentuk persamaan kuadrat. Persamaan parabola dengan sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu y diberikan oleh persamaan kuadrat : Persamaan parabola dengan sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu y diberikan oleh persamaan kuadrat : dengan a, b dan c adalah bilangan riil dan a ≠ 0 dengan a, b dan c adalah bilangan riil dan a ≠ 0 Sifat-sifat parabola : Sifat-sifat parabola : Titik potong pada sumbu x : Titik potong pada sumbu x : D > 0  x 1,2 = -b ± √b.b - 4ac D > 0  x 1,2 = -b ± √b.b - 4ac a 2a D = 0  x = -b/2a D = 0  x = -b/2a D < 0  grafik parabola tidak memotong sumbu x D < 0  grafik parabola tidak memotong sumbu x Nilai ekstrim  y = D/-4a Nilai ekstrim  y = D/-4a

Cont.... Contoh : Contoh : maka buatkan grafik parabola ! maka buatkan grafik parabola ! Jawab : Jawab : terhadap sumbu x : (x-4)(x+1) maka x 1 = 4 dan x 2 = -1 jadi titiknya (4,0) dan (-1,0) terhadap sumbu x : (x-4)(x+1) maka x 1 = 4 dan x 2 = -1 jadi titiknya (4,0) dan (-1,0) terhadap sumbu y : f(0) = (0-4)(0+1) = -4 maka titikknya (0,-4) terhadap sumbu y : f(0) = (0-4)(0+1) = -4 maka titikknya (0,-4) terhadap sumbu simetri : x = -b/2a = 3/2 = 1.5 terhadap sumbu simetri : x = -b/2a = 3/2 = 1.5 terhadap titik ekstrim : y = -61/4 terhadap titik ekstrim : y = -61/4

Cont.. Karena a > 0 Maka grafiknya :

Fungsi Dan Limit Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap objek x dan satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan ke dua. Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap objek x dan satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan ke dua. Himpunan yang pertama disebut daerah asal (domain) Himpunan yang pertama disebut daerah asal (domain) Himpunan yang kedua disebut daerah hasil (range) Himpunan yang kedua disebut daerah hasil (range)

Operasi Dalam Fungsi Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x) Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x) Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x) Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x) Perkalian : (f.g)(x) = f(x). g(x) Perkalian : (f.g)(x) = f(x). g(x) Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x) Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x) Contoh : Contoh : F(x) = √ 4 + x dan g(x) = √16 – x hitung penjumlahan pengurangan, pembagian dan perkalian fungsi diatas? F(x) = √ 4 + x dan g(x) = √16 – x hitung penjumlahan pengurangan, pembagian dan perkalian fungsi diatas?

Limit Limit aljabar : Limit aljabar : Limit : x  a Limit : x  a Limit ditak hingga : x  ~ Limit ditak hingga : x  ~ Limit trigonometri : x  0 Limit trigonometri : x  0 Limit : x  a Limit : x  a Bentuk aljabar : lim x  a f(x) Bentuk aljabar : lim x  a f(x) Contoh : Contoh : maka lim (x-3) (x+3) (x+3) maka lim (x-3) (x+3) (x+3) x  = lim x  = 6 x  = lim x  = 6 (x-3) 1 (x-3) 1

Limit : x  ~ Limit : x  ~ Bentuk aljabar : lim x  ~ f(x) / g(x) Bentuk aljabar : lim x  ~ f(x) / g(x) Contoh : Contoh :

Turunan Rumus dasar turunan Rumus dasar turunan n n-1 n n-1 Y = X  n X Y = X  n X Y = ku  k du/dx Y = ku  k du/dx Y = u+ v  du/dx + dv/dx Y = u+ v  du/dx + dv/dx Contoh : Contoh : Y = maka y’ = Y = maka y’ =

Tugas Tugas sebagai nilai akhir matakuliah remidi akan diadakan pada tanggal 28 April 2010 jam di lab jar. maka diharapkan kehadiran mahasiswa matematika TKJ dan belajar lebih rajin karena tugas bersifat individu dan langsung untuk mendapatkan nilai remidi (tidak ada nilai susulan)! Tugas sebagai nilai akhir matakuliah remidi akan diadakan pada tanggal 28 April 2010 jam di lab jar. maka diharapkan kehadiran mahasiswa matematika TKJ dan belajar lebih rajin karena tugas bersifat individu dan langsung untuk mendapatkan nilai remidi (tidak ada nilai susulan)! Selamat belajar!!! Selamat belajar!!!