DASAR-DASAR MATEMATIKA ASURANSI JIWA By. Endro Subagyo

Program Asuransi: Yaitu suatu kerjasama dari sejumlah individu yang saling menyetujui untuk membagi risiko kerugian yang mungkin terjadi (dalam hal ini berlaku hukum bilangan besar). Asuransi jiwa menanggulangi kerugian finalsial yang disebabkan oleh kematian.

Struktur asuransi jiwa tergantung pada tiga elemen : Mortalita yaitu kemungkinan kematian seseorang dalam jangka waktu tertentu. Tingkat bunga yaitu tingkat bunga yang diperoleh dari investasi dana. Biaya yaitu seluruh biaya operasional kecuali biaya investasi.

Premi dihitung berdasarkan :  Premi netto = mortalita + tingkat bunga  Gross Premi = mortalita + tingkat bunga + biaya Keuntungan perusahaan asuransi jiwa dilihat dari sisi :  Mortalita akan menguntungkan apabila expected mortalita lebih besar dari realita.  Tingkat bunga akan menguntungkan apabila tingkat bunga investasi lebih besar dari tingkat bunga premi.  Biaya akan menguntungkan apabila biaya perusahaan yang dikeluarkan lebih kecil dari premi.

BAB I : TABEL MORTALITA Yaitu suatu daftar kemungkinan kematian dari sekelompok orang dalam jangka waktu tertentu. Dalam pembentukan tabel mortalita digunakan simbol :  l x yaitu jumlah orang yang baru lahir  l x yaitu jumlah orang yang berusia x  l x+1 yaitu jumlah orang yang berusia x+1  d x yaitu jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x+1  Dimana l x+1 = l x - d x, dan ω adalah usia tertinggi dalam tabel mortalita

Notasi : x yaitu seseorang yang berusia x n p x yaitu kemungkinan orang yang berusia x akan hidup paling sedikit n tahun dimana n q x yaitu kemungkinan orang yang berusia x akan meninggal dalam n tahun dimana n d x yaitu jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x+n dimana yaitu kemungkinan orang yang berumur x akan hidup m tahun tetapi mati dalam n tahun berikutnya

BAB 2 : ANNUITAS HIDUP Yaitu sederet pembayaran/penerimaan yang sifatnya periodik, dimana setiap pembayaran/penerimaan dilakukan bila orang yang ditunjuk masih hidup pada saat pembayaran jatuh tempo

1. ANUITET SEUMUR HIDUP yaitu nilai sekarang dari anuitas hidup dengan pembayaran sebesar 1 tiap akhir tahun selama hidup. dimana : yaitu nilai sekarang dari anuitas hidup dengan pembayaran sebesar 1 tiap awal tahun selama hidup. dimana : Comutation symbols : D x = V x l x D x+1 = V x+1 l x+1 N x = D x + D x+1 + D x+2 + ….. N x+1 = D x+1 + D x+2 + ……

2. ANUITA HIDUP BERJANGKA DAN DITANGGUHKAN yaitu nilai sekarang dari anuitas hidup akhir dengan pembayaran sebesar 1 tiap akhir tahun selama n tahun. dimana yaitu nilai sekarang dari anuitas hidup awal dengan pembayaran sebesar 1 tiap awal tahun selama n tahun dimana yaitu nilai sekarang dari anuitas hidup akhir yang ditunda selama n tahun dengan pembayaran sebesar 1 seumur hidup dimana

yaitu nilai sekarang dari anuitas hidup awal yang ditunda selama n tahun dengan pembayaran sebesar 1 seumur hidup. dimana yaitu nilai sekarang dari anuitas hidup akhir yang ditunda selama n tahun dengan pembayaran sebesar 1 selama t tahun dimana yaitu nilai sekarang dari anuitas hidup awal yang ditunda selama n tahun dengan pembayaran sebesar 1 selama t tahun dimana Hubungan antara anuitas hidup awal dan akhir

3. DANA KEHIDUPAN (PURE ENDOWMENT) Yaitu suatu pembayaran yang dilakukan pada akhir jangka waktu tertentu bila seseorang tetap hidup sampai jangka waktu tersebut. n E x yaitu nilai sekarang dari pure endowment berjangka n tahun dengan besar pembayaran 1 untuk orang berumur x tahun. dimana :

BAB 3 : ASURANSI JIWA Comutasi symbols yang digunakan :  C x = v x+1 dx  C x+1 = v x+2 d x+1  M x = C x + C x+1 + C x+2 + ……  M x+1 = C x+1 + C x+2 + ……  M x+n = C x+n + C x+n+1 + …….

Produk dasar asuransi jiwa : 1. Asuransi berjangka (term insurance) : uang pertanggungan (UP) akan dibayarkan apabila tertanggung meninggal dalam jangka waktu asuransi tertentu. Diberi simbol dimana : 2. Asuransi seumur hidup (wholelife insurance) : uang pertanggungan (UP) akan dibayarkan apabila peristiwa kematian terjadi. Diberi simbol A x. dimana : 3. Asuransi dwiguna (endowment insurance) : uang pertanggungan (UP) akan dibayarkan apabila tertanggung meninggal dalam jangka waktu asuransi dan UP dibayarkan apabila tertanggung hidup diakhir masa asuransi. Diberi simbol Asuransi dwiguna merupakan kombinasi dari asuransi berjangka dan pure endowment sehingga :

BAB 4 : PREMI TAHUNAN Persamaan dasar dalam menghitung premi tahunan : Nilai sekarang = Nilai Sekarang dari premi-premi yang akan datang dari benefit-benefit yang akan datang Hak = Kewajiban P. a =A

Notasi :  P x yaitu premi tahunan netto untuk asuransi seumur hidup biasa dengan UP 1 bagi orang berumur x.  n P x yaitu premi tahunan netto untuk asuransi seumur hidup dengan batasan n tahun, UP 1 bagi orang yang berumur x.  yaitu premi tahunan netto untuk asuransi berjangka n tahun dengan UP 1 bagi orang berumur x.  yaitu premi tahunan netto untuk asuransi dwiguna n tahun dengan UP 1 bagi orang berumur x.  yaitu premi tahunan netto untuk asuransi dwiguna n tahun dengan batasan t tahun dengan UP 1 bagi orang berumur x.

Premi untuk asuransi seumur hidup : Premi untuk asuransi berjangka n th : Premi untuk asuransi dwiguna n th :

BAB 5 : CADANGAN PREMI NETTO Cadangan adalah sejumlah dana yang ditahan perusahaan untuk membayar klaim atau hutang jangka panjang. Diberi simbol t V = cadangan premi pada akhir tahun ke-t.

Notasi :  t V x yaitu cadangan premi pada akhir tahun ke t untuk asuransi jwia seumur hidup biasa dengan UP 1, umur pada saat masuk x tahun.  t:n V x yaitu cadangan premi pada akhir tahun ke t untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran premi terbatas maksimal n kali, UP 1 dan umur pada saat masuk x tahun.  yaitu cadangan premi pada akhir tahun ke t untuk asuransi jiwa dwiguna n tahun, dengan UP 1 dan umur pada saat masuk x tahun.  yaitu cadangan premi pada akhir tahun ke t untuk asuransi jwa berjangka n tahun, dengan UP 1 dan umur pada saat masuk x tahun.

Ada dua metode untuk menghitung cadangan : 1. Metode Cadangan Retrospektif yaitu metode yang digunakan untuk menghitung cadangan dengan cara melihat keadaan yang sudah terjadi. t V = ( t-1 V+ P) U x+t-1 - K x+t-1 metode Fackler atau t V = P t U x - t K x 2. Metode Cadangan Prospektif yaitu metode yang digunakan untuk menghitung cadangan dengan cara melihat keadaan yang akan terjadi. Cadangan akhir tahun ke t merupakan selisih dari nilai pada saat umur x+t dari benefit-benefit yang akan datang dan nilai pada saat x+t dari premi-premi yang akan datang, atau : t V = A x+t - P ä x+t untuk asuransi seumur hidup biasa. untuk asuransi dwiguna n tahun

Pada dasarnya : Nilai cadangan retrospektif = Nilai cadangan prospektif atau (Akumulasi dari premi-premi yang lalu) + (Diskonto dari premi-premi yang akan datang) = (Akumulasi dari benefit-benefit yang lalu) + (Diskonto dari benefit yang akan datang) atau (akumulasi dari premi yang lalu) – (akumulasi dari benefit yang lalu ) = (diskonto dari benefit yang akan datang) – (diskonto dari premi yang akan datang)

BAB 6 : GROSS PREMIUM Gross premium = net premium + loading

Loading atau biaya-biaya asuransi adalah biaya- biaya non investasi dan dapat diklasifikasikan sebagai berikut : Biaya-biaya yang berubah menurut besarnya premi. Biaya ini biasanya merupakan persentase dari premi. Contohnya komisi agen. Biaya-biaya yang berubah menurut jumlah polis. Misalnya penyediaan polis-polis bagi calon tertanggung, penetapan system adminstrasi yang diperlukan, pengiriman kuitansi dsb. Biaya-biaya yang berubah menurut besarnya UP. Misalnya biaya pemeriksaan dokter.

Lazimnya perusahaan-perusahaan asuransi menyederhanakan bentuk biaya ke dalam : Biaya pertama ( α ) yaitu biaya-biaya yang sepenuhnya digunakan dalam tahun pertama, sehingga diperhitungkan pada tahun pertama saja. Besarnya adalah perseribu dari UP. Biaya lanjutan (  ) yaitu biaya-biaya yang dipergunakan sepanjang kontrak asuransi. Besarnya adalah perseribu dari UP. Biaya penagihan ( β ) yaitu ongkos penagihan premi, diperhitungkan selama pembayaran premi, besarnya adalah perseratus dari premi.

Dalam perhitungan gross premi harus dipenuhi persamaan pokok sebagai berikut : Nilai sekarang dari gross premi harus sama dengan nilai sekarang dari benefit dan biaya. Bentuk umum gross premi : Untuk asuransi Dwiguna Untuk asuransi Seumur hidup

BAB 7 : MODIFIKASI CADANGAN Pada dasarnya cara modifikasi cadangan premi itu membuat perhitungan premi netto untuk tahun pertama lebih kecil dari pada perhitungan premi netto utuk tahun-tahun selanjutnya. Kemudian menyamakan nilai sekarang dari premi-premi modifikasi itu dengan nilai sekarang dari premi netto biasa (net level premium). Bila dalam cara modifikasi cadangan itu premi netto tahun pertama I dan premi netto tahun-tahun selanjutnya R, maka untuk asuransi dengan masa pembayaran n tahun didapat persamaan :

a. Cara Full Preliminary Term Modifikasi cadangan premi dengan memakai cara Full Preliminari Term adalah menganggap plan asuransi yang asli sebagai kombinasi dari plan Ekawarsa (asuransi berjangka satu tahun) dan plan asli yang ditangguhkan setahun dengan masa kontrak diperpendek setahun. b. Cara Commissioners Pinjaman biaya tahun pertama dibatasi maksimum atas dasar program asuransi seumur hidup dengan batasan pembayaran premi 20 tahun. Jadi bila modifikasi cadangan commissioners sama dengan modifikasi cadangan cara FPT. Bila Premi netto tahun pertama dalam modifikasi cadangan commissioners diberi notasi Ic dan premi netto lanjutanya diberi notasi Rc.

c. Cara Zillmer Modifikasi cadangan premi dimaksudkan untuk memperhitungkan cadangan premi yang sesuai mungkin dengan keadaan yang sesungguhnya. Jadi cadangan premi yang sesuai dengan keadaaan sesungguhnya adalah cadangan premi yang perhitungannya didasar pada gross premium. = disebut penyesuaian premi (adjusted premium) = Zilmer Quota